343 



,=„_! ,=„~1 r,=,>-1 r,=„-l 



2 F{rt + '•",«,■>, 2 F(a-fro,6,), 2 F(f/,a, +'•,(■>,), 2 F(b,a,+>\iô,) 



.=1 .=1 r,=l r,= l 



ikkun i 2, og Fia,a^^), F(6,rt,), F(rt,&,), F(a,,6,) blot i 1. Altsaa giver (11') atlcr et 

 approximeort Udtryk for hele Volumen. 



4. Ved Rækkerne i 3 blive folgende specielle Tilfælde at mærke 



1". Man kan have F(fl,a|) = Go, saa at (5) og (5) ophore at gjæ'Ide, idet ikke alene 

 Coéfficientcn til (b — a)(,b, — f/,), men ogsaa alle de folgende Coefficienter til Potenser af 

 (I — a)(&i — o,) blive uendelige. Taylors Række ophorer at va^re gyldig fra det Led som 

 indeholder (6— a)(&, — a,). 



2". F(6, ai)=aD mcdförer Ugyldigheden af (6) og (6'), 



3». F(rt,&,)=co — — (7) og (7'), 



4". F(b,6i) = oD — — (8) og (8') af lignende Grunde. 



5». Hvis samtidig flere af Tilfældene 1»— 4" indtræde, ville ligeledes samtidig liere Par 

 af Formlerne (5) — (8) og (5)— (8) ophore at gjælde. 



6". ErF'"'" ix,y) uendelig for hvilkensomhelst af de angivne Grændseværdicr fora: og?/, 

 ville nogle Rækker kun blive gyldige til de Led, som indeholde denne Dilferentialcoefficient. 



7". Hvis F^'" (,c,Ci), c og c, beliggende respective imellem a og b, n^ og 6,, niaa 

 alt det Foregaaende erindres med Hensyn til (.5')— (8'), forsaavidt c og c, netop ere 

 Grændser for nogle af Integralerne i (12), nemlig höjere Grændscr i een Række, lavere i 

 en anden. 



Formlerne i (9)— (H) og (9')— (H') niaae som dannede af (5)— (8) og (5') — (8) 

 være de samme Indskrænkninger underkastede som disse. 



5. Sætter man »(=:od, a^=dx, o, = djr/ og antager F(.t, y) endelig i hele Ud- 

 strækningen fra x = a til x = b og fra y = ai til 2/ = 6,, saa ville Rækkerne (5)— (11') 

 reduceres til deres forste Led, indeholdende alene forste Potens af « og o,, eller af dx 

 og dy, og man seer, at det bestemte Integral er det samme som Summen af alle Værdier 

 af Differentialet imellem Intcgralionsgrændserne. Det samme udledes af (12), da man 

 ifölge (1) har 



/ F(.x,y)dydx=f(.a + rdx + di; a, + r^dy + dy)—f(.a-\-rdx+dx,a^ H-/-,rf!/) 



—fia-{-rdx, a, -{-r^dy + dy^ + fUi + rdx, a^+r^dij) = F(a + rdx, a, +r,di/). 



6. Et dobbelt bestemt Integral kommer ikke altid til at angive en Sum af samme 

 Beskaffenhed som dets sammensættende Elementer, naar F(.x,y) ikke er endelig for alle 

 Værdier at x og y imellem Grændserne for deres Værdier. Naar man til Exempcl har 



i 



F (r, y) = —, altsaa uendelig for æ = 0, 2/ = O, og 



xy ' ' o 



