XLIV 
Medaillen, hvis Udfürelse er bleven noget opholdt ved et Uheld, kan nu meget 
snart udgives. 
Den mathematiske Classe. 
Professor Jürgensen har forelagt Selskabet to Afhandlinger, om Decomposi- 
tionen af en Classe af Functioner, og de dermed i Forbindelse staaende Hovedformler 
for Summationen af de transcendente Functionér, hvis Differentialer ere algebraiske. 
De Resultater, som disse Undersögelser have afgivet, beroe i det Væsentlige blot paa 
en i dobbelt Henseende foretagen Simplification af den bekjendte Lære om rationale 
Brökers Decomposition. 
Idet man nemlig, under Forudsætning af, at Brökens Tæller er af ligesaa höi 
eller höiere Grad end dens Nævner, istedetfor som sædvanligt först at oplöse den i en 
heel Function og en egentlig Brök, bibeholder dens oprindelige Form, bliver det let at 
danne en almindelig Decompositionsformel og at give denne en saadan Skikkelse, at 
dens umiddelbare Anvendelse paa en rational Function af en bestemt Form giver det for 
Summationen af de elliptiske og ultraelliptiske Functioner bekjendte Abelske Theorem, 
og en nærmere Betragtning af den saaledes decomponerede rationale Brök viser, at den 
som specielt Tilfælde indeholdes i en anden, der ved Anvendelsen af samme Decompo- 
sitions-Maade giver den mere omfattende Sætning, som Abel uden Beviis har angivet i 
et Brev til Legendre. 
Fra det Tilfælde, at den decomponerende Bröks Nævner kun indeholder uligestore 
Factorer af förste Grad til det modsatte er Overgangen hidtil gjort paa forskjellige 
meer eller mindre sammensatte Maader. Den simpleste er imidlertid at antage en Brök, 
hvis Nævner kun har uligestore Factorer, decomponere den, og dernæst blot differen- 
tiere gjentagne Gange paa begge Sider af Lighedstegnet med Hensyn til Rödderne af 
den Ligning, der fremkommer naar Nævneren bliver Nul; herved fremkommer nemlig 
umiddelbart en Decompositionsformel, der indbefatter alle rationale Functioner. Efter at 
have fremstillet Decompositionen saaledes, bliver det let at udvide den til brudne Func- 
tioner med rational Tæller og irrational Nevner. Idet nemlig de Störrelser, der ere 
Potensexponenter for de enkelte Factorer i Nævneren, træde, formindskede hver med en 
Eenhed, ind som Exponenter for gjentagen Differentiation naar Bröken decomponeres, 
har man at underlægge Betegnelsen for gjentagen Differentiation et saadant Begreb, at 
Decompositionen derved kan iværksættes, ogsaa naar hine Potensexponenter ere brudne 
