Das Quotientengesetz. Eine biologisch-statistische Untersuchung 97 
Ein besonderes Interesse hat es, ob die Erzeugerkurve 
andere Formen .als die einer Geraden haben kann, wenn 
die physiologische Spirale an dem Erzeuger Strecken ab- 
schneiden soll, welche eine Quotientenreihe bilden. 
Untersuchen wir dieses Verhältnis, indem wir zuerst 
folgenden Hilfssatz betrachten: 
Eine Funktion zu bestimmen, deren Werte eine Quo- 
tientenreihe bilden, wenn die unabhängige Variable eine 
Differenzenreihe durchläuft. 
Wir setzen y=f(&) und müssen dann für x, c+h 
und x + 2h 
fo: f@+h=f(@-+h):f(e + 2h) 
haben. Setzen wir nun voraus, dass die gesuchte Funktion 
sich in Reihen entwickeln lässt, so haben wir: 
2h 
lo + Tr (x) +... — (fa) = ro. : Jl. 
Diese Gleichung ist eine Identität, die für alle Werte von 
h gilt; dies muss aber bewirken, dass die Koeffizienten 
derselben Potenz von Ah gleich gross sein müssen. Es ent- 
steht dadurch ein System von Gleichungen, das sich um- 
schreiben lässt in 
fo: Er: DL". 
d. h., dass die gesuchte Funktion und ihre sukzes- 
siven Differentialquotienten eine Quotienten- 
geihien bilden. 
Eine notwendige Bedingung ist es dann, dass 
el ee en een) 
oder 
-(@) 
’ de? -\de/ 
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