Sur les principes fondamenlaux de V Algèbre. 59 



Les deux resultats ge'ue'raus que nous venons d'obtenir, con- 

 duisent si facilement à tomes les proprie'le's connues des propor- 

 tions, qu'il n'est pas besoin de nous y arrêter. Ainsi, par exem- 

 ple, pour de'montrer que 



a:b-> = <c:d 



amène respectivement 



il n'y aura qu'à remarquer que a:b:> = <ic:d donne respective- 

 ment 



rait tirer de la même maraère les relations respectives ad = bc et 

 ad>'bc, et, au contraire, de ces relations respectivement celles de 

 a:b = c:d et a:b>c:d. En effet la 5:e défîuilion du Livre 5:e d 'Eu- 

 clide, appliquée aux nombres, pourra s'exprimer ainsi: 



a) Les lettres a, b, c, d désignant des nombres quelconques, a a la 

 même proportion à b que c à d, si, pour des nombres entiers quelcon- 

 ques p, q plus grands que l'unité, on a en même temps pa'>qb\ 



A» ^ t,\ pOqdy"'' 



pa = qb\^ ou P"<^^\. 

 pc = qd\' pc<qd) 



Et la 7:e du même Livre ainsi: 

 ß) Les a, b, c, d représentant des nombres quelconques, a a une plus 

 grande proportion à b que c à d, s'il y a des nombres entiers p, q plus 

 grands que Tunilé, tels que pa> qb \ 



pc = <qd \ ' 



Mais je ne m'arrêterai pas à cette déduction, qui, d'après ce qui 

 précède, n'offre aucune difficulté. 



Il serait encore facile de prouver l'identité de nos définitions C), D), 

 prises ensemble, avec la 5:e du Livre 5:e d'Euclide, et celle de notre 

 définition E) avec la 7:e du même Livre; mais ces détails seraient étran- 

 gers à notre sujet. 



