Sur les principes fondamentaux de Vj4lgèbre. 63 



Le nombre ^r étant plus grand que Tunite (V, 8), il y 

 aura des nombres entiers m' tels que {yfr)" >q (VIU). De plus, 

 yV étant moindre que q, ces nombres m' serout plus grands que 

 Tunite'. Désignant par m le plus petit de ces nombres entiers, on 

 aura donc 



c'est-à-dire (HI, IV, 3 et VH) 



{^rr>q, {^r)'=<qYr, 

 ou (3:e égal. cale, des racines) 



V"^>g, ^=<gfr. 



Or, l'inégalité ^>\/'/- donne (IV, 3) 



p>q^r. 

 Donc aussi 



Mais, d'après ce qui précède, 



Donc (Déf. G et la note v jointe) 

 p>r% q<^rT 

 Les nombres entiers m et n, déterminés comme nous ve- 

 nons de voir, satisfont donc à Ténoncé du théorème. 



2:o Soient p, y, r < I. 



Dans ce cas y, -^, -^ seront > 1 (IV, 7 et V, 9) et, puis- 

 que p>q, on aura —>-^ (IV, 7), c'est-à-dire ■r>'p" (^^^^ ^^ ^-^ 

 égal, cale des quotients). 



