Sur les principes fondamentaux de VAl^^èbre. 65 



Car si p><Jt il y aurait, par le théorème prëce'tleut, des 

 nombres entiers /m, n tels que p^r", g<ir" , ce qui serait con- 

 traire à l'hypothèse. 



De la même manière se prouve que non plus p<C.q- Donc 

 p-q. 



XI) Si a y b sont des nombres quelconques y on aura, sui- 

 vant que a> = -<l, respectivement f/> = <;l. 



l:o Si le nombre b est rationnel, la ve'rite' du théorème 

 est manifeste par V, 8. 



2:o Si b est irrationnel et aXlj soit n un nombre en- 

 tier qui rende nb>l, d"où b> — . Si maintenant a^i, on aura 



a''>a" (De'f. H). Or a" >i (cas pre'ce'dent) -, donc, à plus forte 

 raison, ct*>l. Si a<l, on aura a''<:a'' (De'f. I). Or a" < 1 

 (cas pre'c); donc aussi a*<Cl. 



Si b est irrationnel et a = l, on aura, pour des nombres 

 entiers quelconques m et /z, a"=l (cas pre'c). Donc a* = a" 

 (De'f. K) = 1. 



Du the'orème pre'ce'dent rc'siJie cpi'au contraire: 

 1) Suivant que a'^rr-Cl, on aura respectivement a> — <,\. 



Xn) Si a, b, c, cl sont des nombres' quelconques dont 

 a = b, c = d, on aura a'=b^. 



