Sur les principes du Calcul Dijjt'renliel. 425 



la coexistence des coudiiious 



au eu'' + wu 



c'esl-à-dire 



Uf ^ \ CUfJ ' 



n'est évidemment pas possible, pour u = o, à moins que p — n ne 

 soit posiiif, ni pour — = 0, à moins que la même différence 

 ue soît négative. 



Dans le premier casj ou lorsque les exposants augmeuleni 

 continuellement, la série des termes dus au développement de la 

 fonclion est nommée ascendante, dans le second descendante. 



2:o Au contraire, une suite ascendante ou descendante, pro- 

 duite par le développement d'une fonction, indique certainement 

 que, dans le premier cas, le développement a eu lieu dans l'hy- 

 pothèse de u = o, et, dans le second, dans celle de — = o. 

 Car les deux équations précédentes 



Ç = o, c.^-"(t+S) = o 

 ne peuvent évidemment coexister, lorsque p — n est positif, sans 

 que it — o, et, lorsque cette différence est négative, sans que 

 t 



3:o Pour une fonction quelconque de u, qui n'a qu'une 



seule valeur j)Our chaque valeur de u, les icinies successifs 



au'", . . bu", eu', 



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