Sur les principes du Calcul Différenliel. 433 



se trouve imaginaire lorsque h — o, bien que /x soil re'elle pour 



louie valeur de x contenue entre ces limites. La fonction de h 



f(a + h ]-Ju. 

 h 



sera donc imaginaire pour 7i — o. Or, en vertu de notre 3:e priii- 

 cij>e il y aura toujours une valeur fiuie et déterminëe de Ä, moin- 

 dre rpie la différence entre b et «, pour laquelle cette deruiére 

 fonction restera encore imaginaire. Cette valeur étant nomme'e K , 

 l'expressiou 



H 

 se trouvera donc encore imaginaire. Or, d'après l'Lvpothèse e'ta- 

 Llie s\XT fx, tant y« f\ae ß^a-\- H) sont reelles, puisque a et c + Ä 



sont compiises entre a, b. Donc 



fa + fi)-fa 

 K 



devia aussi être re'elle: conclusion contraire à la précédente. La 



vérité qu'il falLit établir est donc manifeste *). 



De la démonstration précédente résulte immédiatement que 

 la fonction 



f[x + k)-fr 

 h 



ue saurait , dans le cas de h-= o , devenir discontinue pour des 

 valeurs de x comprises entre les limites citées a et 6, puisque cela 

 ne pourrait évidemment arriver sans que celte fonction prit, dans la 



*) Que la démonstration ci-dessus a encore lieu si a coïncide avec a ou b , 

 s'ensuit de la manière dont est énonce le principe 3). 



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