26 L. AUTONNE. — TRAVAUX RÉCENTS SUR L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU I" ORDRE 



III 



Ce même problème, lorsqu'on ne fixe pas 

 apriori\e genre, devient encore plus difficile. On a, 

 en somme, à chercher si y est une fonction algé- 

 brique de X. C'est ce que [se sont proposé dans 

 ces tout derniers mois MM. Poincaré ' et Pain- 

 levé ^ 



Tout se réduit à trouver un maximum pour le 

 degré de l'équation algébrique qui lie y k x, c'est- 

 à-dire pour le plus haut exposant dans cette équa- 

 tion. Le reste n'est plus qu'une affaire de tâton- 

 nements et de calculs élémentaires. Seulement ce 

 maximum et fort malaisé à découvrir. Quelques 

 résultats partiels ont cependant été trouvés par 

 MM. Poincaré et Painlevé, et la solution complète 

 ne semble plus bien éloignée. Ces recherches ont 

 surtout mis en lumière l'importance d'un nombre 

 « exposant » attaché à chaque point critique fixe. 

 Lorsque l'intégrale est algébrique, l'exposant est 

 réel et commensurable; sinon il peut être incom- 

 mensurable et même imaginaire. 



Dans mon mémoire de concours et des Notes 

 récentes ', j'ai abordé le problème de l'intégration 

 de l'équation H à un autre point de vue, me bor- 

 nant d'ailleurs au cas où dans H /(a;, y, ?/') ^ 

 l'expression f désigne un polynôme. Généralisant 

 quelques indications de M. Darboux, j'ai fait une 

 étude détaillée des points critiques fixes quand y' 

 figure dans le polynôme au premier degré. Ensuite 

 j'ai représenté H par une surface et les intégrales 

 par certaines courbes « intégrantes » tracées sur 

 la surface et dont la connaissance assure celle des 

 intégrales. Mettant à profit les travaux d'Halphen 

 sur la classification des courbes gauches algé- 

 briques et de M. Picard sur les courbes dont les 

 tangentes appartiennent à un complexe linéaire, 

 je suis parvenu à édifier une théorie des inté- 

 grantes (c'est-à-dire des intégrales) algébriques. 

 J'ai notamment donné un maximum du degré de 

 l'intégrante pour une surface et un genre don- 

 nés. 



1 C. R. i:i avnl 1S91 cl licndicoiili du Cercle mathémaliquc 

 de Palerme 1891. 



2 Comptes rendus, Académie des Sciences 23 mai 1891. 



' Comptes rendus, Académi-; des Sciences 16 mars et 9n o- 

 vembre 1891. 



Il semble qu'en ce moment les recherches de 

 M. Poincaré, de M. Painlevé et les miennes mar- 

 chent au-devant les unes des autres et ne tarde- 

 ront pas à se rencontrer. 



IV 



Un tout autre problème a également été traité 

 relativement à H dans ces dernières années. Lors- 

 qu'on effectue sur x ety une certaine transforma- 

 tion, l'équation H devient une autre H'; mais cer- 

 taines propriétés restent communes à H et H', ne 

 changent pas par l'effet de la transformation, vis- 

 à-vis de laquelle ces propriétés sont des « inva- 

 riants ». Une théorie des invariants a été édifiée 

 par MM. Liouville (Roger), Elliot {Annales scienti- 

 fiques de V Ecole normale supérieure 1890) et Appell 

 {.Journal des mathématiques; 1889). Les résultats de ce 

 dernier géomètre ont été généralisés par M. Pain- 

 levé dans son mémoire couronné. La théorie des 

 invariants permet souvent de simplifier l'équation 

 différentielle H. 



Enfin M. Picard a consacré à H plusieurs pas- 

 sages de son mémoire couronné de 1888 sur les 

 fonctions algébriques de deux variables indépen- 

 dantes. 



Je pourrais allonger encore l'énumération des 

 travaux récents auxquels H a donné lieu. Je n'ai 

 pas parlé, parexemple, des recherchesdeMM. Klein 

 et Lie ' ; les groupes continus de tranformation de 

 M. Lie trouvent là une de leurs plus importantes 

 applications. 



Mais je m'arrête, car il semble que le but de cet 

 article est déjà atteint; on a pu apprécier quelle 

 activité régne sur un point pris au hasard dans 

 l'immense domaine de l'Analyse, avec quelle rapi- 

 dité marche notre science. 



Il est permis notamment d'exprimer l'espoir 

 qu'attaquée de dilTérents côtés par des efforts 

 tenaces et convergents l'équation différentielle du 

 premier ordre ne tardera pas à livrer ses derniers 

 secrets. 



Léon Autoniie, 



Ingénieur dos ponts et cliaussdos, 



Maître de conférences 

 à la Faculté dos Sciences de Lyon. 



' Matliematisctie Annalen, passim. 



