692 



CHRONIQUE 



CHRONIQUE 



GÉNÉHALISATION DE LA « PliOJECÏJON DE MERCATOR » A L'AIDE D'INSTRUMENTS ÉLECTRIQUES i 



En lo68 Gerhard Kramer, — connu généralement 

 sous le nom de « Mercator » (son nom latin), — inventa 

 sa carte, devenue d'un usa^e universel en navigation. 

 Dans cette carte, toute île, baie ou cote, si elle n'a pas 

 plus de deux ou trois degrés de longitude, est indiquée 

 d'une façon assez exacte sous sa vraie forme ; la repré- 

 sentation est même rigoureusement exacte, s'il s'agit de 

 distances égales seulement à une différence infinitési- 

 male de longitude: l'angle entre deux lignes quelconques 

 d'intersection sur la surface du globe est alors rigoureu- 

 sement égalàl'angle correspondant dessiné sur la carte. 



On peut se représenter la carte de Mercator comme 

 obtenue de la façon suivante : sur toute la surface d'un 

 globe, sauf au pôle, on appliquerait une feuille très 

 mince et extensible, telle que serait, par exemple, une 

 pellicule de caoutchouc, si cette substance éminemment 

 extensible pouvait être dépourvue de son élasticité; on 

 couperait la feuille suivant uu méridien, par exemple 

 celui qui esta 180° de Greenwich ; puis on étendrait 

 chaque hémisphère dans tous les sens, excepté le long 

 de l'Equateur, jusqu'à rendre tous les cercles de lati- 

 tude égaux en longueur à la circonférence de l'équateur; 

 suivant le méridien on étendrait la feuille dans le même 

 rapport, de façon à maintenir à angles droits les inter- 

 sections des méridiens avec les parallèles. La feuille 

 ainsi modifiée, étant posée à plat ou roulée comme une 

 feuille de papier, ce serait là la carte de Mercator. 



Appelons généralisation de cette carte pour un corps 

 de forme sphérique ou non sphérique, une mince 

 feuille indiquant à la place de toutes lignes d'intersec- 

 tion susceptibles d'être tirées à la surface du corps, des 

 lignes correspondantes se coupant suivant les mêmes 

 angles. Une carte de Mercator de dimensions détermi- 

 nées ne peut représenter qu'une partie de la surface 

 complète d'un corps déterminé, si le corps est simple- 

 ment continu, c'est-à-dire s'il n'est traversé par aucun 

 trou, ni tunnel. La surface entière d'un anneau d'an- 

 crage peut évidemment être mereatorisée sur une 

 carte. Ou voit facilement que, dans le cas du f,'lobe, 

 deux cartes suffisent à mercatoriser toute la surface. 

 Nous allons démontrer que trois cartes suffisent pour 

 n'importe quelle surface fermée continue, quelque dif- 

 férente qu'elle soit de la forme sphérique. 



Dans le Journal de Liom'dlc pour 1817, Liouville, di- 

 recteur de celte publication, a donné une étude ana- 

 lytique d'après laquelle, si l'on possède l'équation 

 d'une surface quelconque, on peut ti'acer dans cette 

 surface une série de lignes satisfaisant à la condition 

 de la diviser en carrés infinitésimaux par leur inter- 

 section avec la série de leurs perpendiculaires dans les- 

 dites surfaces. Il est donc évidentque, si nous avons une 

 portion d'une surface courbe ainsi divisée dans toute 

 son étendue en carrés infinitésimaux, entourés chacun 

 de quatre carrés, nous pouvons modifier tous ces carrés 

 dans le même rapport et les appliquer sur une surface 

 plane, chacun d'eu'c se trouvant en contact avec ses 

 qualres voisins primitifs ; la portion de surface que nous 

 venons de consiilérer se trouvera ainsi mereatorisée. 



Excepté pour le cas d'une figure de révolution, le 

 cas d'un ellipsoïde, ou d'autres virtuellement équiva- 

 lents, les équations différentielles de Liouville sont 

 d'une application très difficile. 



Ce n'est que tout dernièrement que j'ai remarqué 

 que nous pouvons résoudre graphiquement le problème 

 avec l'exactitude qu'il exigerait si, — hypothèse con- 

 traire à la réalité, — c'était là un problème pratique. 



A l'aide d'un voltamètre et d'une batterie vol laïque, 

 ou de tout autre système de production de courants 

 électriques, nous pourrons résoudre le problème ; il 

 suffirait d'effectuer les opérations suivantes : 



l°Construire la surface à mercatoriser en produisant 

 une feuille métallique d'épaisseur très mince et par- 

 tout uniforme. Par uminci:, » j'entends que l'épaisseur 

 devra êlre une petite fraction du plus petit rayon de 

 courbure d'une partie quelconque de la surface; 



2° Choisir deux points quelconques de la surface, 

 N, S et y appliquer les électrodes d'une batterie ; 



3° Au moyeu des électrodes mobiles du voltamètre, 

 tracer une ligne équipotentielle E, aussi près qu'on 

 peut autour d'une électrode et une autre ligne équipo- 

 tentielle F, aussi près qu'on peut autour de l'autre 

 électrode. Entre ces deux équipotcntielles E, F, tra- 

 cer une grande quantité H d'équipolentielles équi-dif- 

 férentes. Diviser une quelconque des équipotentielles 

 en n parts égales; par les points de division on lire des 

 lignes coupant la série entière des équipotentielles à 

 angles droits. Ces lignes transversales et les équipoten- 

 tielles partagent toute la surface entre E et F en carrés 

 infinitésimaux. 



■i" Réduire tous les carrés à la même dimension et Ton 

 place les ensembles, comme il a été expliqué ci-dessus. 



On a ainsi une carte Mercator de toute la surface 

 entre E et F. Net S de notre généralisation correspondent 

 aux pôles Nord et Sudde laCarte du Monde de Mercator; 

 et notre règle généralisée montre qu'une carte rem- 

 plissant le principe essentiel de similarité réalisée par 

 Mercator peut être construite pour une surface sphé- 

 rique en choisissant pour N, S, deux points quelcon- 

 ques qui ne soient pas nécessairement les pôles à 

 l'extrémité d'un diamètre. Si les points N, S sont infi- 

 niment près l'un de l'autre, la Carte Mercator, dans le 

 cas d'une surface sphérique, est la projection stéréo- 

 graphique de la surface sur le plan tangent à l'extré- 

 mité opposée du diamètre passant par le point C, à moi- 

 tié chemin entre N et S. Dans ce cas les équipotentielles 

 et les lignes de courant sont des cercles sur la surface 

 sphérique coupant N S à angles droits, et le touchant, 

 respectivemeiif. 



Pour une surface sphérique ou toute autre surface, 

 nous pouvons mercatoriser toute portion rectangulaire 

 ABCD, de cette surface limitée par quatre courbes, 

 AB, BC, CD, D.\, se coupant l'une l'autre à angles droits, 

 comme suit : découpez celle partie sur la feuille mé- 

 lalliquecomplète; àdeux de ses bords opposés, AB, DC, 

 par exemple, fixez des bandes infinii^ientconducfrices. 



Appliquez les électrodes d'une batterie vollaïque à 

 ces bandes; tracez n lignes équipotentiidles équi-dif- 

 férentes entre AB et DC. Divisez une quelconque de ces 

 équipotentielles en n parties égales, et, par les points 

 de division, tracez des courbes coupant perpendiculai- 

 rement toute la série des équipotentielles. Ces courbes 

 et les équipotentielles diviseront tout l'espace en car- 

 rés infinitésimaux. Egalisez les carrés et mettez-les en- 

 semble à plat comme ci-dessus. 



Si nous n'avons pas d'instruments de mathématiques 

 ])Our tracer un système de courbes à angles droits sur 

 un système déjà dessiné, nous pouvons nous en passer 

 entièrement et compléter le problème de la division en 

 carrés par des instruments électriques : à cet effet, 

 retirez les bandes conductrices de AB, DC; appliquez 

 des bandes infiniment conductrices à AD et BG, appli- 

 quez des électrodes à ces bandes cpnductrices, et, 

 comme ci-dessus, tracez n équipotentielles équi-difïé- 

 rentes. Cette seconde série d'équipotentielles, et lapre- 

 mièreséi'ie partageront tout l'espace en carrés. 



Kelvix (Sir William Thomson), 



Président de la Société Royale de Londres. 



1 Cet article est extrait du journal ans,'lais Nature (n» cfu 

 22 .septembre 1892). 



Le Directeur- Gérant : Louis Olivier 



Paris. — Imprimerie. LeYé, rue Cassette, 11. 



