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N» 21 



15 NOVEMBRE 1892 



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REVUE GENERALE 



DES SCIENCES 



PURES ET APPLIQUÉES 



DIRECTEUR : LOUIS OLIVIER 



A PROPOS DE QUELQUES RECENTS TRAVAUX MATHÉMATIQUES 



Je ne me propose pas, dans l'article qu'on va 

 lire, de faire une revue des travaux mathéma- 

 tiques intéressants parus depuis la dernière revue 

 d'Analyse que j'ai publiée dans ces colonnes 

 en 1890 ' . On voudra bien voir dans les pages qui 

 suivent une simple conversation mathématique, à 

 propos de quelques-uns des sujets qui préoccupent 

 en ce moment les géomètres : j'ai choisi la théorie 

 des groupes et celle des équations difTérentielles. 



I 



J'ai déjà parlé ^ avec quelques détails de l'ad- 

 mirable théorie des groupes de transformations 

 due à M. Sophus Lie. L'illustre géomètre norvégien 

 continue son œuvre. Il vient de consacrer deux 

 mémoires aux fondements de la géométrie. La 

 question est d'un assez grand intérêt philoso- 

 phique pour que nous nous y arrêtions de nouveau. 



On sait combien les travaux de Gauss et de Rie- 

 mann sont importants dans l'histoire de nos idées 

 sur les hypothèses qui sont à la base de la géo- 

 métrie. Dans cette théorie, c'est l'expression de 

 l'élément de distance qui joue lo rôle essentiel, et 

 les recherches de ces grands géomètres ont été 

 l'origine de développements analytiques du plus 

 iiaut intérêt concernant en particulier les formes 

 quadratiques de différentielles. On doit reconnaître 

 cependant que Gauss et Riemann n'ont pas vu le 

 véritable point de départ à adopter dans l'étude 



' Voir la Reoiie du 30 novembre 1890, t. I, p. 702 cl suiv. 

 - Loc. cil. 



BEVUE OÉNÉRALE DES SCIENCES, 1892. 



des fondements de la géométrie. II semble que ce 

 soit Helmoltz qui ait le premier placé la question 

 sur son véritable terrain : son idée fondamentale 

 consiste à porter l'attention sur l'ensemble des 

 mouvements possibles dans l'espace dont on fait 

 l'étude. La théorie des groupes n'était pas encore 

 créée à l'époque où le célèbre physicien écrivait 

 son mémoire ; il était presque inévitable qu'il 

 commît quelques erreurs. M. Lie vient de re- 

 prendre complètement cette étude en se plaçant 

 au point de vue de la théorie des groupes, et nous 

 allons résumer les conclusions auxquelles il est 

 parvenu. 



Nous considérons un espace à trois dimensions 

 et nous regardons un point de cet espace comme 

 défini par trois quantités {x, i/, s) que l'on appelle 

 les coordonnées du point. Qu'appellerons nous 

 mouvement dans cet espace? Un mouvement d'une 

 portion de l'espace est défini par trois équations : 



x' — f {x, y, z) 



y' = 9 (î'i 2/. -) 

 - =4' (-'-■> î/i =)• 



Par cette transformation un ensemble J^ de 

 points (.«;, y, z) devient un autre ensemble E' do 

 points (.-ï' if z') : la transformation qui précède est 

 pour nous un mouvement ()ui amène E en E\ Ceci 

 posé, nous faisons sur l'espace que nous voulons 

 étudier les hypothèses suivantes : 



1° Les mouvements possibles dans cet espace 

 sont tels qu'ils laissent invariable une fonction 

 Q(.i:, , y, ,,?!,. r,, 2/2, z.Ç] des coordonnées de deux points 

 quelconques [x^, y^■,z^) et [x.-.^y.^^z^). En d'autres 

 termes, si on désigne par (x\ y\ s',), [x'^ y'-2^\] 



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