726 E. PICARD. — A PROPOS DE QUELQUES RÉCENTS TRAVAUX MATHÉMATIQUES 



les coordonnées de ces points après un quelconque 

 des mouvements possibles, on aura 



Û (x,,, i/i, ïi, -r.,, y„, :„) = û [x\, y\, z\, a', y\_, z'„). 



L'origine de cette hypothèse s'aperçoit d'elle- 

 même : en langage ordinaire et sans signe algé- 

 brique, on peut dire grossièrement que, en la fai- 

 sant, on veut qu'il y ait relativement à deux points 

 de l'espace quelque cliose qui reste invariable après 

 le mouvement; on pourra appeler ce gîw/^î/e c/wse 

 la distance de deux points. 



2° On veut, comme le disait Helmollz, que le 

 mouvement libre soit possible dans une certaine 

 région de l'espace. Voici ce que l'on doit entendre 

 par cette hypothèse complexe, bien approfondie 

 par M. Lie. Tout d'abord, quand un point de la 

 région est fixé, tout autre point de cette région, 

 sans atimne exception, décrit une surface (multipli- 

 cité à deux dimensions). Ensuite quand deux 

 points sont fixés, un point arbitraire (des excep- 

 tions étant possibles) décrit une courbe (multipli- 

 cité à une dimension) ; enfin si trois points arbi- 

 traires sont fixés dans la région, tous les points 

 de celles-ci restent en repos (des exceptions étant 

 possibles). 



Telles sont les conditions que nous imposons à 

 l'espace. Il en résulte nécessairement que l'en- 

 semble des mouvements possibles doit former un 

 groupe à six paramètres. On connaît deux types 

 d'espaces satisfaisant à ces conditions. C'est tout 

 d'abord l'espace ordinaire ou euclidien ; tels sont 

 aussi les deux espaces non euclidiens, c'est-à-dire 

 les espaces dans lesquels le groupe des mouvements 

 possibles est le groupe projectif transformant en 

 elle-même l'une ou l'autre des surfaces du second 



degré : 



X-- + 2/= -I- c= ± 1 = 0. 



M. Lie a établi que les groupes précédents sont 

 les seuls qui jouissent des propriétés (i) et (2J : 

 c'est là un résultat bien remarquable etqui montre 

 que les espaces euclidien et non euclidiens sont 

 les seuls où l'on puisse faire logiquement les hy- 

 pothèses qui, dégagées, bien entendu, de leur forme 

 scientifique, sont regardées par quiconque n'a pas 

 réfléchi à ces questions comme ayant un caractère 

 nécessaire. 



La démonstration du théorème de M. Lie est 

 fort délicate. Ainsi les mots » sajis aucune excqjiion», 

 que nous avons soulignés plus haut, sont d'une 

 extrême importance. Si l'on cherche le groupe des 

 mouvements à six paramètres satisfaisant à l'hy- 

 pothèse (2), on ne trouve que les groupes eucli- 

 dien et non euclidiens, mais si on supprime les 

 mots soulignés, on reconnaît qu'il existe d'autres 

 groupes que les précédents. Ajoutons encore que les 

 problèmes analogues dans le plan admettent des 



solutions entièrement différentes: les espaces à deux 

 dimensions euclidien et non euclidiens ne sont pas 

 caractérisés par les propriétés qui leur appartien- 

 nent uniquement dans le cas de trois dimensions. 

 Celte circonstance n'avait pas autrefois échappé 

 à Helmollz. On peut dire, en résumé, que les der- 

 nières recherches de M. Lie épuisent, pour les géo- 

 mètres, sinon pour les philosophes, la question 

 des principes de la géométrie. 



Nous ne nous éloignerons pas de la théorie des 

 groupes en parlant des quantités complexes. C'est une 

 question sur laquelle a plané longtemps une cer- 

 taine obscurité, qu'entretenait le mot un peu mys- 

 tique de quantités imaginaires. Le sujet ne présente 

 plus aujourd'hui rien de mystérieu.'C. Dans un mé- 

 moire publié en 1884, M. Weierstrass a développé 

 une théorie des nombres complexes. Il suppose que 

 l'on considère des nombres de la forme 



Xl ei -{- X-tCo + ... + Xnen 



où les iT sont des nombres réels ordinaires. Les e 

 sont de purs symboles. On fait l'hypothèse que la 

 somme, la dilTérence, le produit et le quotient de 

 deux nombres de l'ensemble font eux-mêmes par- 

 tie de cet ensemble. Les produits 



epCrAp, q — 1,2 ...., Il) 



sont donc des expressions E,,,, linéaires et homo- 

 gènes en e,, e^, ...., e„ qui jouent le rôle essentiel 

 dans la théorie. M. Weierstrass suppose de plus 

 que les théorèmes dits commutatif el associatif suh- 

 sistent tant pour l'addition que pour la multiplica- 

 tion. Pour l'addition ils sont vérifiés d'eux-mêmes ; 

 pour la multiplication, ils s'expriment par les 



égalités : 



(1) ab = ba 



(2) {ab)c=^a{bc) 



a, h, c étant trois nombres quelconques de l'en- 

 semble. Ces conditions conduisent à certaines re- 

 lations entre les coefficients de formes linéaires 

 Ep,, . Atout système de coefficients de formes E;,,, 

 vérifiant ces relations, correspondra un ensemble 

 de nombres comjjlexes. Les quantités complexes or- 

 dinaires correspondent à : 



«1 = 1, e.2 = i. 



Les nombres complexes, que nous venons de dé- 

 finir, diffèrent seulement en un point des nombres 

 complexes ordinaires. Quand n est supérieur à 

 deux, il existe des nombres différents de zéro, 

 dont le produit par certains autres nombres est 

 nul. M. Weierstrass appelle ces nombres des divi- 

 seurs de zéro. Malgré cette singularilé, cette nou- 

 velle algèbreest réductible àl'algèbre des nombres 

 complexes de la forme a -{- ^i l'illustre géomètre 

 de Berlin a en effet établi que, si a et b désignent 

 deux nombres quelconques de l'ensemble, on peut 



