E. PICARD. — A PROPOS DE QUELQUES RÉCENTS TR.WAUX MATHÉMATIQUES 727 



les décomposer en un certain nombre de com- 

 posants (K| a.^ .., Ur, hf, h.,,... l>r tels que 



les composants a,, b.- dépendant seulement d'une 

 ou deux unités fondamentales. Ce théorème montre 

 bien que le calcul des nouvelles quantités se dé- 

 duira toujours avec facilité du calcul ordinaire ; il 

 n'y a pas là un instrument nouveau dont puisse 

 profiler l'Analyse mathématique. 



Nous avons admis que les lois commutative et 

 associative subsistaient dans l'algèbre précédente. 

 On s'est placé à un point de vue plus général en 

 supposant que, seule, la loi associative exprimée 

 par l'égalité (2) subsistait. On a alors une algèbre 

 beaucoup plus générale; celle-ci est complète- 

 ment déterminée par le système des expressions li- 

 néaires Ep,,. Un exemple célèbre d'un système à 

 quatre unités e^, e,, e.^, e,^ est fourni par les quater- 

 nions d'Hamilton où l'on a : 



e, =1, 



e., = (, 



es =J. 



avec les relations 



ij — —ji = k 



jk — — kj = i 

 ki = — ik = J. 



Une remarque très intéressante de M. Poincaré 

 va nous ramener à la théorie de groupes. L'éminent 

 géomètre a fait le premierla remarque qu'à chaque 

 système d'unités complexes correspond un groupe 

 continu de substitutions linéaires à n variables, 

 dont les coefficients sont des fonctions linéaires de 

 71 paramètres arbitraires. Cette idée a été appro- 

 fondie, dans un mémoire récent, par un élève de 

 M. Lie, M. SchefTer, qui a été ainsi conduit à 

 partager les nombres complexes en deux classes, 

 suivant que le groupe qui leur correspond est inté- 

 grable ou non intégrable. .\ cette dernière classe ap- 

 partient le groupe correspondant aux quaternions 

 et ceux-ci sont les représentants les plus simples 

 de cette catégorie de nombres complexes. On de- 

 mandera peut-être maintenant si ce vaste symbo- 

 lisme est susceptible d'accroitreunjourla puissance 

 de l'Analyse. Il est dangereux d'être prophète, 

 mais il me semble que ces algèbres nouvelles ne 

 pourront avoir d'autre intérêt pratique que de con- 

 duire peut-être à des notations plus condensées ; on 

 le voit, au reste, pour les quaternions dont l'em- 

 ploi, si prisé en Angleterre, n'est nulle part indis- 

 pensable. Le rapprochement entre la théorie des 

 groupes et le calcul symbolique n'en est pas moins, 

 au point de vue spéculatif, d'un grand intérêt. 



L'idée d'un système de fonctions formant un 



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groupe, n'est pas seulement bornée au cas où il 

 n'y a dans l'ensemble qu'un nombre fini de para 

 mètres. M. Lie s'est beaucoup occupé dans ces der- 

 niers temps des groupes infinis, les groupes consi- 

 dérés jusqu'ici étant dits groupes /wi/s parce qu'ils 

 dépendent d'un nombre fini de paramétres arbi- 

 traires. Considérons un système d'équations aux 

 dérivées partielles d'ordre quelconque contenant 

 h fonctions i^,, u.,,..., u de )i variables x^, x„,...,Xn; 

 ces équations définiront un groupe si, prenant 

 deux solutions quelconques 



". = F- t^'i, ■•■, -i-») 



(i=l, 2, ...n), 



on obtient encore une solution en prenant les 

 fonctions 



F,- ($1, <l>„ ..., <K). 



La théorie des invariants différentiels s'étend 

 aux groupes infinis. On entend par invariant dif- 

 férentiel relatif à m -|-;) lettres «,, ■x^,...,x,„,z, z.2,..., 

 z toute fonction des a;, des z et de leurs dérivées 

 considérées comme fonctions des x, qui garde la 

 même forme quand on effectue sur les .r et les z 

 les substitutions du groupe. Nous reviendrons tout 

 à l'heure sur leur rôle important dans la théorie 

 des équations différentielles. 



Certains groupes infinis jouissent de propriétés 

 particulières. J'ai appelé l'attention sur les cas où 

 les équations aux dérivées partielles qui définissent 

 le groupe, ne renferment pas explicitement les va- 

 riables indépendantes. J-^a recherche de ces équa- 

 tions revient alors à la formation de certains 

 groupes finis. Ces équations peuvent être considé- 

 rées comme généralisant les deux équations clas- 

 siques dans la théorie des fonctions d'une variable 

 complexe, et c'est en cela que leur étude mérite- 

 rait d'être poursuivie. Il est d'ailleurs vraisem 

 blable qu'il y a d'autres cas que ceux que je viens 

 de signaler dans lesquels la recherche des groupes 

 infinis peut se ramener à la recherche des groupes 

 finis. 



II 



On entend quelquefois des personnes, d'ailleurs 

 très instruites, mais pour qui les mathématiques 

 se réduisent aux cas d'égalité des triangles, se 

 demander ce qu'il peut bien y avoir à faire aujour- 

 d'hui en mathématiques. Il est malheureux qu'on 

 ne puisse leur donner le conseil d'apprendre le 

 calcul intégral, pour juger des progrès que récla- 

 merait la théorie des équations différentielles. 



Malgré les efforts des plus grands géomètres, 

 cette théorie se réduisit longtemps à une mono- 

 graphie de cas particuliers. Un des résultats les 

 plus intéressants des travaux de M. Lie est d'avoir 

 fait une vaste synthèse de ces travaux isolés. Le 



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