H. POINCARE. — LES FORMES D'ÉQUILIBRE D'L'iNE MASSE FLUIDE EN ROTATION 811 



et que les lignes qui séparent les dépressions des 

 montagnes se déforment peu à peu. 



Il est inutile d'ajouter que l'aplatissement de 

 l'ellipsoïde qui sert de point de départ et les lati- 

 tudes de nos n parallèles ne peuvent pas être 

 choisis arbitrairement et qu'ils ne sont pas les 

 mêmes pour toutes les séries. 



Le nombre npeut être nul de telle sorte que l'el- 

 lipsoïde soit seulement divisé en fuseaux; le 

 nombre^ peut aussi être nul, de sorte qu'il soit 

 seulement divisé en zones. 



A chaque combinaison des deux nombres n et 

 p correspond une série de figures nouvelles d'é- 

 quilibre. Observons toutefois que les combinai- 

 sons 



(« =0,/) = l), 



1, /) = 0), [n = i, p = \) 



ne donnent que l'ellipsoïde de Mac-Lorin déplacé, 

 mais non déformé, et que la série qui correspond 

 à la combinaison {n = 0, /) =^ 2) n'est autre chose 

 que la série des ellipsoïdes de Jacobi. 



Ces figures nouvelles d'équilibre admettent p 

 plans de symétrie passant par l'axe de rotation. 

 Si j^ est nul, elles sont de révolution autour de 

 cet axe. Enfin, si n est pair, elles ont unj; -\- 1°, 

 plan de symétrie perpendiculaire à l'axe de rota- 

 tion. 



II existe d'autres séries de formes d'équilibre 

 que l'on obtient en prenant comme point de dé- 

 part un [ellipsoïde de Jacobi. 



Voici comment on les obtient : 



Traçons à la surface d'un ellipsoïde de Jacobi n 

 lignes convenablement choisies de façon à la di- 

 viser en n -|- i zones, entourant les pôles du grand 

 axe. (Ces lignes doivent être choisies parmi celles 

 que les géomètres appellent lignes de courl)ure.) 



Imaginons maintenant que la surface de l'elli- 

 psoïde se creuse ou se soulève de telle façon que 

 la première de ces zones soit remplacée par une 

 montagne, la zone suivante par une vallée, la sui- 

 vante par une montagne et ainsi de suite. ?sous 

 obtiendrons ainsi une figure d'équilibre très peu 

 différente de l'ellipsoïde. 



Pour nous rendre compte de la forme des autres 

 solides d'équilibre de la même série, nous n'avons 

 qu'à supposer que ces reliefs vont en s'accentuant. 

 Notre ellipsoïde déformé va présenter alors une 

 suite de renflements et d'étranglements alternatifs, 

 formant comme une série de plis transversaux. 



A chaque valeur du nombre n, à partir de « = 3 

 inclusivement, correspond une de ces séries de 

 figures d'équilibre. 



Toutes admettent deux plans de symétrie rec- 

 tangulaires, l'un perpendiculaire à l'axe de rotation, 

 l'autre passant par cet axe. Les figures d'équilibre 

 qui correspondent à une valeur paire de }i admet- 



tent un Iroisièmeplande symétrie perpendiculaire 

 aux deux premiers. 



J'appellerai particulièrement l'attention sur la 

 série qui correspond à n =^ 3. Je représente sur la 

 figure 1 l'un des solides d'équilibre de cette série. 

 Le trait pointillé est le contour de l'ellipsoïde de 

 Jacobi qui a servi de point de départ, et le trai 



Fig. 1. 



plein est le contour de la nouvelle figure d'équi- 

 libre. 



Parmi les figures de cette série, il y en [a une 

 qui est en même temps un ellipsoïde de Jacobi. Je 

 l'appellerai l'ellipsoïde E . 



SlaliUté. — Tous ces solides sont des figures 

 d'équilibre, mais cet équilibre est-il stable ? C'est 

 ce que nous avons encore à examiner. 



Lord Kelirn {Sir W. Thomson) et M. Tait, dans 

 l'ouvrage que j'ai cité plus haut, ont les premiers 

 remal-qué qu'il y a deux sortes de stabilité. 



Observons d'abord qu'il y a deux espèces d'équi- 

 libre. Il y a, en premier lieu, l'équilibre absolu qui 

 est atteint quand tous les corps envisagés sont en 

 repos; mais ce n'est pas celui-là que nous avons à 

 considérer dans le problème qui nous occupe 

 puisque notre masse fluide n'est pas en repos mais 

 en rotation. Seulement, elle paraîtrait en repos, à 

 un observateur qui serait entraîné comme elle 

 dans un mouvement de rotation uniforme : elle 

 SQYîiii an éqitllilre /eto/// par rapport à cet obser- 

 vateur. 



Les lois de l'équilibre absolu et celles de l'équi- 

 libre i-elatif ne sont pas tout à fait les mêmes. L'un 

 et l'autre sont stables quand ils correspondent au 

 minimum de l'énergie totale du système envisagé. 

 11 est clair en effet que, pour faire sortir le 

 système de sa situation d'équilibre, il faut lui 

 fournir une certaine quantité d'énergie, et qu'il ne 

 pourra s'en écarter beaucoup que si cette dépense 

 d'énergie est très grande. 



Cette condition, qui est toujours suffisante, est 

 nécessaire dans le cas de l'équilibre absolu ; elle 

 ne l'est pas dans le cas de l'équilibre relatif; un 

 système animé d'un mouvement de rotation très 

 rapide peut être en équilibre stable sans que l'é- 

 nergie soit minimum. 



C'est là l'explication d'une foule de paradoxes 

 dynamiques ; Je n'en citerai qu'un qui est d'obser- 



