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ACADEMIES ET SOCIETES SAVANTES 



nous recevrons désormais, après chacune de ses séances, 

 la copie textuelle des Mémoires accueillis par elle. Chacun 

 de ces Mémoires sera, sous la seule réserve de l'acquiesce- 

 ment de l'Auteur, traduit par un savant spécialiste et pu- 

 blié, autant que possible, in extenso dans nos colonnes. 



Les communications suivaiites ont été faites à la Société 

 depuis sa rentrée jusqu'il la date du 15 décembre. 



i" SCIENCES _MAÏHÉ.MATJQUES. 



Major I».-A. IMae lUulion. F. H. S. — Mémoire sur 

 la théorie des compositions des nombres. — Dans 

 la théorie des partitions des nombres l'ordre des par- 

 ties est indifférent. Les compositions sont simplement 

 des partitions où l'on tient compte de l'ordre des 

 parties. 



Outre les nombres ordinaires ou « unipartits », on 

 considère des nombres « multipartits », c'est-à-dire 

 des nombres complexes formés par l'ensemble de 

 n nombres unipartits. La première section traite des 

 compositions des nombres unipartits, sujet très 

 simple, qui sert d'introduction à la théorie plus diffi- 

 cile des nombres multipartits. 



Dans la théorie des partitions, on rencontre certaines 

 partitions définies par cette propriété que chacune 

 correspond à une partition de tout entier inférieur. 

 L'énumération de ces partitions, dites « partitions par- 

 faites », se trouve être identique avec celle des compo- 

 sitions des nombres multipartits. 



La seconde section donne une théorie purement 

 analytique des nombres multipartits. Un nombre mul- 

 tipartit d'ordre n est désigné par une notation telle 

 que 



Les parties dans lesquelles on les décompose sont 

 elles-mêmes des nombres multipartits d'ordre 7i. Pour 

 le nombre 21 on a 



Partitions 

 (20 ti\) 



(il oî) 

 (fô^ oT) 



Compositions 

 (2l)_ 



(20 01 ), (Ot 20) 



(ÏÏ l(l), (ÎÔ fï) 



(iT Ol), (lÔ 01 rô), (Ol ÏÔ^). 



La fonction génératrice pour les nombres de composi- 

 tions est 



Ih + h. + h. 4- . . 

 1— /(,—/(.> 



«1 — "2 + «3 ■ 



1— 2(ai — «2 + «3- 



Fig. t. 



où /(,, a, représentent respectivement la somme des 

 produits homofïènes d'ordre s et la somme des produits 

 s à s de n quantités «,, «j, ... «n ; et le nombre des com- 

 positions du multipartit p^ p^ ... pn est le coefficient 



de a, Mj ' . . . otn dans le développement de cette 

 fonction. 



La section 3 s'occupe de la représentation jSjraphique 

 des nombres bipartits. On forme un réseau consistant 

 en séries de points par lesquels passent des lignes 

 dans deux directions définies, le contour général 

 étant un parallélogramme. La figure I (AR) représente le 



nombre îi4. Une composition de ce nombre est définie 

 en fixant des nœuds en certains points tels que nul 

 d'entre eux n'esta la fois au-dessus et à gauche d'au- 

 cun autre. Le parallélogiarame qui a pour sommets 

 des nœuds voisins représente un certain nombre, el, en 

 passant en revue les nœuds de A à B, on peut former 

 les différentes compositions. 



Les tliéorèmes obtenus par ces considérations sont 

 étendus dans la section 4 aux nombres tri et multi- 

 partits. Dans cette section, la plus importante du tra- 

 vail, on établit que 



l 1 ^^_ 



2 [1 — s, (2ai -f- a., -F . . . + a„ )\ [1 — s., (2 oc, -H 2a., -)- . . . a„ ) 

 ] ... ri-s„(2a, -t-2a, r ...-+-2ct„)l 



est aussi une fonction génératrice pour les nombres de 

 compositions. La comparaison de cette fonction avec la 

 précédente fournit une identité féconde en résultats, 

 parmi lesquels on peut remarquer le suivant relatif à 

 la tliéorie des permutations. 



Si l'on appelle contact majeur une inversion entre 

 lettres consécutives, le nombre des permutations de 

 lettres dans le produit 



Pi Pi P" 



«1 «2 . ■ ■ an 



qui possèdent exactement s contacts majeurs est donné 



par le coefficient de ). aj «^ ' . . . a» dans le pro- 

 duit. 



la, -I- > (a., -(-... -4- «,. )]''' la, -j- a, -f ), (a, -^ . . . -f a,. ) 

 1 . . . [a, -f- a.2 -I- . • . + a„ 1 , 



et de plus égal au nombre des permutations pour les- 

 quelles 



'■■2 + ''3 + - • ■ '■ —Sx 



r, désignant le nombre de fois que la lettre ai se trouve 

 à l'une des p^ + p, + . . . + pi-i premières places. 



La section b donne une généralisation de l'idée de 

 composition et des théorèmes précédents. 



2° SCIENCES PHYSIQUES. 



L.or<l Kelvin. P. R. S. — Sur la vitesse du cou- 

 rant de cathode de Crookes. — A sa bril- 

 lante découverte du courant de cathode (cou- 

 rant partant de la cathode dans des vases de 

 verre où l'on a fait le vide et qui sont sou- 

 mis à la force électrique), Crookes a rattaché 

 le fait que, lorsque la totalité du courant, ou 

 une part iniporlanto de ce courant total, est 

 dirigée de manière à tomber sur 2 ou 3 cen- 

 timètres carrés du vase contenant, cette partie 

 du verre s'échauffe rapidement d'un grand 

 nombre de degrés, quelquefois à plus de 200° 

 ou 300°, au-dessus de la température de la 

 partie du verre adjacente. 



Soit V la vitesse en centimètres par se- 

 conde, du courant de cathode et p la quantité 

 de matière de toutes les molécules contenues 

 dans 1 centimètre cube de ce courant. Ad- 

 mettons, — et les expériences de Crookes 

 semblent prouver que ce n'est pas loin de la 

 vérité, — que leur choc contre le verre est 

 pareil à celui des corps non élastiques, ot qu'elles 

 abandonnent toute leur énergie de translation en 

 échauffant le verre. L'énergie ainsi abandonnée , 

 par centimètre carré de surface, est ipu^ pour une 

 seconde de temps; l'équivalent en unités thermiques 

 gramme -degré centigrade - eau , est approximative- 

 ment : 



