H. POINCARÉ. 



LE PROBLEME DES TROIS CORPS 



[«arable à celle des planètes elles-mêmes, de lelle 

 t'ai;on que ces deux astres sont au périhélie à 

 chaque conjonction. C'est à cette catégorie qu'ap- 

 partient la première solution périodique <iui ait 

 été découverte et que son inventeur, M. llill. a 

 prise pour point de départ de sa théorie de la 

 Lune. 



Dans les solutions de la seconde soile, les incli- 

 naisons sont encore nulles, mais les exentricités 

 s(mt finies; le mouvement du périhélie est très 

 lent; les moyens mouvements sont près d'être com- 

 inensurables ; les périodes anomalistiques (on 

 appelle ainsi le temps qui s'écoule entre deux 

 passages consécutifs de l'astre au périhélie!, le 

 sont exactement. A certaines époques, deux pla- 

 nètes passent en même temps au périhélie. Dans 

 les solutions de la troisième sorte les inclinaisons 

 sont finies, les orbites sontpi'esque circulaires; le 

 mouvement des périhélies est ti-ès lent et égal à 

 celui des nœuds; les péi'iodes anomalistiques sont 

 commensurables; à certaines époques les planètes 

 passent en même temps, aux périhélies. Je laisse de 

 çi'ité de nombreuses catégories de solutions pério- 

 di(iues plus compliquées et qu'il serait trop long 

 d'énumérer. 



Il y a ensuite les solutions asyinpfoliqiies. Pour hien 

 faire comprendre ce qu'on doit entendre par là, 

 qu'on me permette d'employer un exemple simple. 

 Imaginons d'abord une Terre et un Soleil isolés 

 dans l'espace, se mouvant par conséquent d'api'ès 

 les lois de Kepler, Supposons encore pour simpli- 

 lier, que leur mouvement soit circulaire. Donnons 

 maintenant à cette Terre deux satellites L, et L., 

 dont la masse sera infiniment petite de telle sorte 

 qu'ils ne troubleront pas le mouvement circulaire 

 (le la Terre et du Soleil, et qu'ils ne se tr<inbleront 

 pas non plus mutuellement, chacun d'eux se mou- 

 vant comme s'il était seul. Choisissons la position 

 initiale de L, de façon que eetle Lune décrive une 

 oi'bit'; périodique; nous pourronsalors choisircelle 

 de L_, de façon f[ue ce second satellite décrive ce 

 que nous a|ipellerons une orbite asympLoli((ue. 

 D'aboi-d assez éloignée de L,. il s'en rapprochera 

 indétinimeut, de sorte qu'après un teuqis iiiliui- 

 uient long, son orltite difTéreia iiitiniuicut peu de 

 celh' de L,. Supj)Osiins un observateur placé sur la 

 Terreet tournant lentement sur lui-même de façon 

 à regarder conslammenl le Soleil. Le Soleil lui pa- 

 l'aitra immol)ile et la Lune L, dont le mouvement 

 est périodique lui semblera décrire une coui'be 

 fermée C. La Lune L^ décrira alors pour lui une sorle 

 de spirale dont les spires de plus en plus serrées 

 se rapprocheront indéfiniment de la courbe C 11 y 

 aune infinité de pareilles orbites asymptoliques. 

 L'ensemble de ces orbites forme une surface conti- 

 nue S qui passe par In coui'hf C. ri sur hi(|uelle 



sont tracées les spires dont je viens de parler '. 



Mais il y a une autre catégorie de solutions 

 asymptotiques. Il peut arriver, si l'on choisit con- 

 venablement la position initiale de L^, que cette 

 Lune aille en s'éloignant de Lj, de telle façon qu'à 

 une époque très reculée dans le passé, son orbite 

 (lifTêre très peu de celle de L,. Pour notre obser- 

 vateur, ce satellite décrii'a encore une courbe en 

 spirales dont les spires se rapprocheront indéfini- 

 ment de la courbe C; mais il la décrira en sens 

 contraire en s'éloignant constamment de C. L'en- 

 semble de ces nouvelles orbites asymptotiques 

 formera une seconde surface continue S' passant 

 l'galement par la courbe D. 



Lnlin il y a une infinilé de solutions donblciiwnl 

 (isyinpivtiqiies; c'est là un point que j'ai eu l)eau- 

 coup de peine à établir rigoureusement. 11 peut 

 ari'iver que le satellite L_,, d'abord très rapproché 

 de l'orliile de L,, s'en éloigne d'abord beaucoup et 

 s'en rapproche ensuite de nouveau indéfiniment. 

 A une époque très reculée dans le passé, celte 

 Lune se trouvait sur la surface S', et y décrivait 

 des spires en s'éloignant de C; elle s'est ensuite 

 beaucoup éloignée de C; mais dans un temps très 

 long elle se retrouvera sur la surface S et décrira 

 de nouveau des spires en se rapprochant de C. 



Soient L,, L., .... L„ ii — 1 lunes décrivant des 

 orbites doublement asymptotiques; aune époque 

 reculée, ces n — 1 lunes se meuvent en suivani 

 des spirales sur S ; en parcourant cette surface 

 on rencontre ces n — 1 orbites dans un certain 

 ordre. Au bout d'un temps très long, nos satellites 

 se retrouveront sur S et décriront de nouveau des 

 spirales; mais, en parcourant cette surface S, on 

 rencontrera les orbites desM — llunes<fo!«« un ordre 

 /mit dijfcrcnf. Ce fait, poui- peu qu'on prenne la 

 peine d'y réiléchii', semblera une preuve éclatante 

 de la complexité du problème des Trois corps et 

 de l'impossibilité de le résoudre avec les instru- 

 ments actuels de l'.Xnalyse. 



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L'astronomie ne nous oil're aucun exemple d'un 

 système de trois ou de plusieurs corps dont les 

 conditions initiales du mouvement soient telles 

 ((u'ils décrivent exactement des orbites pério- 

 diques ou asymptotiques. D'ailleurs a priori la 

 probabilité pour que cette circonstance se pré- 

 sentât était manifestement nulle. On ne peut pas 

 en conclure que les considérations précédentes ne 

 sont intéressantes que pour le géomètre et inutiles 



1 U peut ari-ivor, si l'inclinaison des orbites est nulle, 

 que S se réduise à une surface iidininient aplatie, formée de 

 plusieurs feuillets plans superposés, cl ;in;il'igiiec rm's sui'faces 

 de Rieniann. 



