H. rOLNCAKE. — LE IMiUiiLÊMb; DES THUIS CURPS 



mander au calcul ])lus de précision qu'aux obser- 

 vations, mais on ne doit pas non plus lui en 

 demander moins. Aussi l'approximation dont nous 

 pouvons nous contenlei- aujourd'hui deviendra- 

 t-elle un jour insuflisaute. Et, en effet, en admellanl 

 même, ce qui est très improbable, que les instru- 

 ments de mesure ne se perfectionnent plus. Taccu- 

 midation seule des observations pendant plusieurs 

 siècles nous fera connaître avec plus de précision 

 les coefficients des diverses inégalités. 



On peut donc prévoir le moment où les méthodes 

 anciennes, malgré la perfection que leur a donnée 

 Le Verrier, devront être abandonnées définitive- 

 ment. Nous ne serons pas pris au dépourvu. 

 Delaunay, Hill, Gyldén, Lindstedt ont imaginé de 

 nouveaux procédés d'approximation successive 

 plus rapides et plus satisfaisants à tous égards que 

 les anciens; en particulier, ils se sont affranchis 

 de l'inconvénient que je signalais plus haut. 



Les développements auxquels ils parviennent 

 pourraient même être regardés comme une solu- 

 tion complète du problème des trois corps, si la 

 convergence en était établie. Il n'en est malheu- 

 reusement pas ainsi. 



Faute de cette convergence, ils ne peuvent pas 

 donner une approximation indéfinie; ils donne- 

 ront plus de décimales exactes que les anciens 

 procédés, mais ils n'en donneront pas autant 

 qu'on voudra. Si on l'oubliait, on serait conduit à 

 des conséquences erronées. (_)n en serait vile averti, 

 d'ailleurs, car ces conséquences ne seraient pas les 

 mômes, selon qu'on appliquerait les méthodes de 

 Delaunay ou celles de Lindstedt. et ces contradic- 

 tions sutliraient pour montrer (|u"nii au moins des 

 deux développements n'est pas conxergenl. 



Il 



Nepeul-on cependant établir aucun résultat re- 

 latif au mouvement des trois corps avec cette 

 absolue rigueur à laquelle les géomètres sont habi- 

 tués? S'il est possible d'en découvrir, ne poui'rait- 

 on y trouver un terrain solide sur lequel on s'ap- 

 puierait pour marchera de nouvelles conquêtes? 

 .N'aurait-on pas ouvert une brèche qui permetti'ail 

 d'entrer enfin dans la forteresse? On ne peut s'em- 

 pêcher de le penser, et c'est ce (jui donne quelque 

 prix aux rares théorèmes susceptibles d'une dé- 

 monstration rigoureuse, (piand même ils ne 

 semblent pas immédialemeut api)liçables àl'aslro- 

 nomie. 



Telles sont les propriétés des solutions particu- 

 lières remarquajjles du problème des trois corps. 



Le mouvement des trois astres dépend en effet 

 de leurs positions et de leurs vitesses initiales. 

 Si l'on se donne ces conditions initiales du nniuxe- 



nient, on aura défini une solution particulière du 

 problème, il peut se faire que quelques-unes de 

 ces solutions particulières soient plus simples, 

 |)lus abordables au calcul, que la solution géné- 

 rale; il peut se faire (}ue pour certaines posi- 

 tions initiales des trois corps, les lois de leur 

 mouvement présentent des propriétés remar- 

 quables. 



Parmi ces solutions particulières, les unes ne 

 sont intéressantes que par leui- bizarrerie; les 

 autres sont, comme nous le verrons, susceptibles 

 d'applications asti'onomiques. Lagrange et Laplace 

 ont déjà abordé le problème par ce ccUé, et ils ont 

 découvert ainsi un théorème important. Il peut 

 arriver que les orbites des trois corps se réduisent 

 a des ellipses. La position et la vitesse initiales de 

 notre satellite auraient pu être telles, que la Lune 

 fût constamment pleine; elles auraient pu être 

 telles que la Lune fût constamment nouvelle ; 

 elles auraient pu aussi être telles que cet astre 

 fiU constamment à 6(J° du Soleil dans une phase 

 intermédiaire entre la nouvelle lune et le premier 

 quartier. 



Ce S(jnt là des solutions particulières très simples , 

 il y en a de plus compliquées qui sont cependant 

 remarquables. Si les conditions du mouvement 

 avaient été dilférentes de ce qu'elles sont, les 

 phases auraient pu suivre des lois bien étranges; 

 dans une des solutions possibles, la Lune, d'abord 

 nouvelle, commence par croître; mais, avant d'at- 

 teindre le premier quartier, elle se met à dé- 

 croître pour redevenir nouvelle et ainsi de suite ; 

 elle a donc constamment la foi'uie d'un croissant. 

 Dans une autre solution, plus étrange encore, elle 

 passe trois fois par le premier quartier entre la 

 nouvelle lune et la ])leine lune; dans cet inter- 

 valle, elle ci'oît il'abord, décroit ensuite, pour se 

 mettre de nouveau à croître. 



Ces solutions sont trop ditï'érentes des véritables 

 trajectoires des astres, pour pouvoir jamais être 

 réellement utiles à l'Astronomie. Elles n'ont qu'un 

 intérêt de curiosité. Il n'en est pas de même île 

 celles dont je vais maintenant parler. 



11 y a d'abord les solutions pêriodifjucs . Ce sont 

 celles (Ui les distances des trois corps sont des 

 fondions périodi(|ues du temps; à des intervalles 

 périodiques, les trois corps se retrouvent donc 

 dans les mêmes positions relatives. Les solutions 

 périodiques sont de plusieurs sortes. Dans celles 

 que j'ai appelées de la première sorte, les inclinai- 

 sons sont nulles et les trois corps se meuvent dans 

 unmêmeplan; les excentricités sont très petites et 

 les orbites sont presque circulaires; les moyens 

 mouvements ne sont pas commensurables; les 

 deux planètes passent en même temps au périhélie, 

 i|iii. loin d'i'lre lixe, tmu'ne avec une rapidité cdm- 



