tiS 



.1. TANNEKV. -- Li:S LliÇUNS 1)L GÉUMETKIE DE M. DAIiHUL'X 



par Euler, par Poisson, et plus récemment par i 

 M. Appell, M. Dai'ljoux montre comment Riemann 

 a étendu aux équations linéaires aux dérivées par- 

 tielles la notion d'équation adjointe que l'on doit 

 à Lagrange pour les équations diflërentielles li- 

 néaires à une seule variable, comment l'illustre 

 géomètre a fait dépendre l'intégration de l'équa- 

 li(m de Laplace, le mot d'intégration étant entendu 

 dans le sens, bien connu des physiciens, oii inter- 

 viennent des conditions aux limites, de la déter- 

 mination d'une certaine solution de l'équation 

 adjointe satisfaisant à des conditions relativement 

 simples, et comment enfin il a réussi à déterminer 

 cette fonction dans le cas de l'équation d'Euler. 

 Une intéressante digression sur les propriétés de 

 l'équation adjointe de Lagrange permet ensuite de 

 compléter divers résultats donnés antérieurement 

 sur l'équation de Laplace. 

 Les équations du type particulier 



(1) 



■J-O^ 



sont l'objet dune étude spéciale : l'une des plus 

 belles propositions concernant ces équations est 

 due à M. Moutard ; M. Darboux en fait ressortir toute 

 l'importance par les conséquences diverses (U quel- 

 quefois vraiment singulières qu'il en tire. Parmi 

 les équations qui appartiennent au type précédent, 

 les équations hannoniqaes oii X a la forme 



9\-'' + U) — 'i' ■'■ — .'/' 



possèdent des propriétés analytiques extrêmement 

 intéressantes, qui sont développées avec détail : le 

 problème de reconnaître si l'équation (1) peut être 

 l'amenée à une équation harmonique rapproche 

 l'auteur du domaine de la géométrie; ce problème 

 en effet est identique à celui-ci : reconnaître si 

 l'élément d'une certaine surface peut être ramené 

 à la forme 



considérée par M. Liouville et étroitement liée à la 

 théorie des lignes géodésiques. 



Parmi les applications géométriques que fait 

 M. Darboux des théories qui viennent d'être ana- 

 lysées sommairement, je signalerai l'étude des sur- 

 faces à lignes de courbui'c isothermes, où les ré- 

 sultats fondamentaux sont dus à M. Christolfel, 

 l'étud e des trajectoires orthogonales d'un système de 

 surface, celle, en particulier, des droites normales 

 il une surface, qui donne à l'auteur l'occasion de 

 revenir sur le beau théorème d'optique que l'on 

 doit à Malus, l'étude des surfaces dont les plans 

 principaux sont conjugués par rapporta une sur- 

 face du second degré, étude qui est liée intime- 

 ment au théorème d'Abel et qui fournit de belles 

 généralisations des théorèmes de Chastes sur les 



polygones de périmètre maximum ou ininiiiuuu 

 inscrits ou circonscrits à l'ellipse, enfin l'élude des 

 congruences de cercles et des systèmes cycli<|ues. 

 Après ces applications, M. Darboux revient à la 

 théorie générale des surfaces, pour établir, en par- 

 lant des considérations cinématiques qui ont été 

 développées au début, les formules de M. Codazzi; 

 il traite ensuite de la courbure normale et de la 

 torsion géodésique, puis des ligues géodésiques ; 

 celles-ci nous rapprochent de la mécanique et 

 c'est à cette science que sont consacrées les trois 

 derniers chapitres du volume. Le lecteur ne pourra 

 manque)' d'éprouver un vif plaisir en v(jyant de 

 quel jour s'éclairent les propositions générales de 

 Jacobi et d'Hamillnnen se plaçant au point de vue 

 géométrique où le conduit M, Darboux. 



III 



Du troisième volume le premier fascicule seul 

 est paru, 



La détermination des lignes géodésiques d'une 

 surface dont on donne l'élément linéaire dépend, 

 d'après la proposition générale de Jacobi sur les 

 équations de la dynamique, amplement étudiée 

 dans les chapitres précédents, de la détermination 

 d'une solution contenant une constante arbitraire 

 d'une équation aux dérivées partielles du premier 

 ordre : Jacobi lui-même a indiqué un artifice in- 

 génieux qui réussit assez souvent et qui réussit 

 en particulier, con^me l'a montré M. Liouville, dans 

 le cas où l'élément linéaire a la forme qui a été 

 signalée un peu plus haut : c'est en particulier, le 

 cas des surfaces du second ordre. D'autres mé- 

 thodes, plus générales et plus régulières sont dé- 

 veloppées par M. Darboux : M. Massieu, Bour, 

 M. Bonnet, M. Maurice l^évy ont étudié les cas où 

 l'équation aux dérivées partielles admet des inté- 

 grales d'une forme simple donnée à priori. M. Dar- 

 boux rattache quelques-unes de ces recherches à la 

 solution du beau problême de M. Beltrami : lîtant 

 donnée une surface, peut-on la représenter sur le 

 plan de telle manière que les lignes géodésiques 

 (le la surface correspondent aux différentes droites 

 du plan ? Bien d'autres questions se posent à propos 

 de ces lignes géodésiques : signalons seulement 

 l'étude si importante de la courbure géodésique, 

 l'examen approfondi du problème du plus court 

 ciiemin entre deux points d'une surface et la théo- 

 rie des triangles géodésiques, dont Gauss a posé 

 les fondements dans les admirables disquisitiones 

 rlrca superficies r.iirras. 



M. Darboux aborde ensuite le problème de la 

 déformation des surfaces. Il prend pour point de 

 départ la notion des paramètres différentiels, 

 d'après M. Beltrami. et montre en particulier com- 

 nicul elle conduit à la détinitiou d'une fonction 



