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BIBLIOGRAPHIE. — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Caucliy. — Œuvres complètes. Ih scric, tome VIII. 

 (2!i fr.) Pari.< 1S90, (iaudiier-Villurs éditeur, :>'.'>, quai 

 des Grand:>-Au()ustiu!:. 



Ce volume contient les <• Exercices de Muthénialiques » 

 pour Tannée I82S. Il est consacré principalement à 

 la mécanique des lluides et des solides élasticiues ou 

 non élastiques. 



Toutefois la Géométrie y est représentée : d'abord 

 une théorie des centres, des plans et a.res lirincipaux des 

 surfaces du second ordre, où l'on peut admirer une 

 exposition extrêmement simple des propriétés de la 

 classique <' Equation en .■-■ ", ensuite la discussion des 

 lignes et des surfaces du second ordre et enfin la repré- 

 sentation de diverses laniilles de surfaces par leurs 

 équations en termes finis, ou parcelles aux dérivées par- 

 tielles; tels sont les exercices consacrés à la Géumélrie. 

 L'intérêt de cette partie de rouvraf,'e réside non dans 

 les résultats mais dans le style du maître, un style 

 d'une netteté que nos élève-: de mathématiques spéciales 

 ne connaissent peut-être plus en dépit de l'étendue de 

 leur programme. 



Quant à l'analyse pure, trois courts chapitres lui sont 

 réservés : l'un donne l'expression de la différence finie 

 A'".f", l'autre celle de la somme finie iS^ ... .r" ; le 

 troisième déduit des précédents soit les différences, 

 soit les intégrales finies des fonctions entières d'une ou 

 de plusieurs variables. 



Les « Exercices » de Physique mathématique peuvent 

 se diviser en deux classes : f° Exposition des équations 

 fondamentales de la Mécanique des fluides ou des so- 

 lides ; 2° Intégration de ces équations dans des cas 

 relativement simples. 



Cette seconde classe comprend : l'étude des petils 

 mouvements d'une lame solide, celle plus difficile des 

 vibrations d'une plaque solide, d'où Caucliy fait découler 

 les lois des vibrations d'une verge rectangulaire. 



Parmi les résultats je rappellerai particulièrement 

 les beaux théorèmes fournissant une échelle des sons 

 qui peuvent être rendus par une lame élastique dont la 

 fibre moyenne serait successivement courbée en une 

 fraction quelconque de cercle. 



Les « Exercices » de l'autre classe, malgré leur très 

 grande généralilé, ofi'rentun intérêt d'un autre genre; 

 ils montren t nettement les deux points de vue sous les- 

 quels on a jusqu'ici envisagé la distribution de la 

 matière dans les corps. Ou bien l'on regarde la matière 

 comme continue, ou bien on la distribue en centres de 

 forces isolées. Le premier point de vue est développé 

 dans deux chapitres; les conditions thermiques imposées, 

 bien qu'artificielles, suffisent cejiendant pour les appli- 

 cations mentionnées plus haut. Caucliy définit pour les 

 solides l'i'tat naturel et montre qu'il y a lieu de se donner 

 quelque relation cajiable de raltacher les six compo- 

 santes des pressions aux éléments cinématiques de la 

 déformation. Il suppose d'abord la relation suivante : 



La leiision (ou pression) exorci-i; contre un idément 

 " de surface admet une composanle normale à ce! 

 Il éb'menf, qui es! proporlioniiclle à la dilatation (ou 

 i( condensation) relalive à celle même direction. » 



Puis il combine cette hypothèse avec celle de la |ires- 

 sion normale des fluides. Celle su|)erposition de deux 

 systèmes de pressions iniroduit deux coefficients k et K 

 figurant dans les équalioiis qui gouvernent les compo- 

 santes : £, v;, Ç, d'un pelit déplacement de la mob^cule 

 dont les coordonnées cartésiennes à l'époque t sont 

 j:, y, z, et qui, sous une dcnsiti' initiale A, est soumise 



par unité de masse à la force dont ces composanfcs 

 sont X, Y, Z. Si l'on désigne par Q la dilatation cubique 

 di' di'formation, c'est-à-dire si l'on |iiise : 



Q 



■D5 , >n ^^ 



"ix ■51/ "52 ' 



chaque composante 5, r,, l, vérifie une éqiiafinn de la 

 hu'me suivante : 



2A \^x'- ' ■?(/■' 





h + -iK-il 



2A 



"ix 





Ces équations se réduisent par la supposition : 

 k =2K à ce!les données par .Xavier (Mi-moire de 1821). 



Si au lieu de considérer le corps dont l'élasticité a 

 éh' définie plus haut, on envisage un corps entièrement 



dx 

 il"|iourvu d'(daslii'ili' cl si l'iui fait : u = -r-; /i = consl. 



cha(|ue équation précédente est remplacée par une 

 autre lelle que celle-ci : 



■?'-« Il-» "i'-u 



^ l>t 2a . 2A ■?!( 



+ T ^ ''"" T t7 



"S'' 



il'où l'on peul di'duire celle aiiln 



:^«- 





•S./--' 



^2: 



^l 



^' ^t 



^y' 



-i-J 



y\-ix 







/i"^ ît 



Celle-ci dans le cas ])articulier où X = Y^Z=rOest 

 précisément celle du mouvement de la température: 

 c'est encore celle qui régit la densité d'un lluide. Ainsi 

 dans deux hypothèses extrêmes où la chaleur serait 

 assimilée soit à un fluide élastique, soit à un corps 

 dénué' d'élasticité on retrouve toujours cette équation 

 fiiiidainenlale : 





:>-v 





dont les propriétés les plus importantes ont été rigou- 

 reusement établies par M. Poincaré {(Comptes rendus. 

 1888.) 



Dans l'hypothèse de la disconlinuité, c'est-à-dire celle 

 où l'on considèri' des poinis matériels isolés, soumis 

 à li'urs attractions ou n-pulsions mutuelles, l'espèce 

 di' poslulatum qui constilue la notion de la pression 

 n'est ]dus nécessaire. Il suffit pour composer les ac- 

 lions moléculaires de connaître la distribution initiale 

 des masses du sysième; ce calcul se simplifie dans 

 l'élude des pelils nniuvenienls, et l'ii raison de la peti- 

 lesse du rayon d'aclivilé moléculaire; ces circonstances 

 permettent, dans le calcul des difîc'rences géométriques 

 des diqilacements, c'esl-à-dire dans le calcul des quan- 

 liti's : A2, At], Ail, de s'arrêter aux termes du second 

 ordre, ceux du premier disparaissant fréquemment 

 d'eux-mêmes. Si l'état initial est un élat d'équilibre, et 

 si dans cet élat la distribulion des masses i^st symé- 

 lrii|ue par rapport à chacune d'enlre elles (il ne s'agit 

 pas ici des é'quations aux limiles\ les composantes des 

 aciions moléculaires sont des foiT.ics linéaires des déri- 

 V('es du second ordre des déplacements, considérés 

 comme fractions des coordonnées initiales a, b. c. 



Les la coefficients de ces formes dépendent de 

 9 constantes, qui se réduisent à 3, dans le cas parli- 

 culier où la distribution des masses autour de chacune 



