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BIBLIOGRAPHIE. 



ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Pîcai-d (E.), de rAcadririic des Sciences. — Mémoire 

 sur la théorie des équations aux dérivées par- 

 tielles et la méthode des approximations succes- 

 sives {.louniiil de iiiiilhciihdii/iies, 1 8901. — Sur la 

 détermination des intégrales de certaines équa- 

 tions aux dérivées partielles du second ordre par 

 leur valeur le long d'un contour fermé. {.loiininl 

 de rEeole l'oh/leehuiipie, ISHO.) 



Ces travaux sont les premiers où soit abordée sous 

 une forme générale la théorie des équations aux déri- 

 vées partielles du second ordre. On ne s'était guère 

 occupé que de certains types particuliers d'équations 

 dont les plus importants sont les suivants : 



(2) ^-^ = ou ^=0. 



Les travaux considérables dont ces équations (1) et 

 (2) ont été l'objet ont mis en évidence les différences 

 essentielles qui les distinguent : toutes les intégrales 

 de l'équation (\ ) sonl fiiuih/liijues, et se laissent définir 

 par leurs valeurs le long d'un contour fermé à l'intérieur 

 duquel elles sont l'égnlières ; à chaque intégrale de (1) 

 correspond une intégrale analytique de (2); mais l'équa- 

 tion (2) admet en outre une infinité d'intégrales non ana- 

 lytiques ; une intégrale de (2) n'est pas définie par ses 

 valeurs le long d'un contour fermé, mais par les valeurs 



, , . • - dn, du , , ,, , . , 



de ses dérivées — — le long il un arc de courbe et 



d.v, dy 

 sa valeur en un point de cet arc. 



Il était vraisemblable qu'une telle distinction dût se 

 poursuivre entre les équations du second ordre plus 

 compliquées ; mais en deboi's du théorème de Cauchy 

 sur l'existence d'intégrales analytiques, on ne connais- 

 sait aucune propriété générale de ces équations. Les 

 travaux de M. Picard embrassent toutes les équations 

 de la forme : 



(^) 



A(.r, 2/)^+2l?(.^,'/)^--r- 



+ r. (.- 



•53 ït 



"ix ' "iy ' 



■'•, y 



Cette équation peut se ramener, suivant que B- - 

 est négatit ou positif, à l'un des types : 



.\C 



(A) 



•52 M •52» _ 



(B) 



Hhi 



'i-e'iy 



= F. 



Par une méthode, à la fois très rigoureuse et très 

 simple d'approximationssuccessives, l'auteur étend aux 

 équations (.() et (B) ces deux propriétés fondamentales 

 des équations (I) et (2) : 



1° Dans 1(1 -partie diLplan où H- — AC est négatif, il existe 

 une intégrale, enntinue ainsi que ses di'rivéesdes deu.r pre- 

 miers ordres à Vinlerieur d'un eontour fermé quelconque, et 

 q»/ prend sur ce eontour des râleurs données {pourvu toute- 

 fiiis que ce contour soit suffisaniment petit). 



■2" Dans la partie du plan <ni B^ — AC est positif, il existe 

 ane intégrale (pd prend en un point a d'un arc de courbe c 



"Su "iu 

 une râleur donnée et dont les dérivées •— , — prennent le 



•5.-C -iy 



long de c des râleurs données (pourvu toutefois que Pare c 



soit suffisinnnient petit): u et ses dérivées des deux premiers 

 ordres restent d'ailleurs continues quand on traverse 

 l'arc c. Ceci n'est pas vrai pour les équations (A). 



Ces théorèmes ne supposent rien sur A, B, C, F. 

 L'auteur les complète moyennant certaines hypothèses 

 sur ces coefficients. L'étude des équations linéaires 

 notamment conduit à des conclusions de la plus haute 

 importance et qui se résument ainsi ; Soit l'i'qua- 

 tion : 



a) 



"i-u ■5'-» -52» 11» 



^u 



+ 2E— + Fh = 



^y 



0; 



on peut toujours supposer nul le terme indépendant 

 de u. Envisageons seulement la région du plan où 

 B^ — AC est négatif : il existe, d'après le premier théo- 

 rème, une intégrale de l'équation (4) qui prend des 

 valeurs données le long d'un contour fermé quelcon- 

 que, pourvu que ce contour soit suffisamment petit. 

 On montre ici que cette intégrale est unique. De plus, 

 toute intégrale de l'équation (4) est analytique, si les 

 coefficients A,B,...Fsont eux-mêmes des fonctions ana- 

 lytiques de .r, y. Enfin si le coefficient de u est identi- 

 quement nul, ou simplement si le signe de ce coeffi- 

 cient est contraire au signe commun de .V et de C, il 

 existe une intégrale et une seule qui prend des valeurs 

 données le long d'un contour fermé cjuelconque, et les 

 méthodes de M. Picard permettent de calculer cette 

 intégrale. On voit que l'équation (4) dans ce dernier 

 cas jouit absolument des mêmes propriétés fondamen- 

 tales que l'équation de Laplace. 



Il est inutile d'insister sur la portée de ce théorème 

 que toutes li'S inirqrales de l'cquatiou (4) sont analytiques. 

 (^omnie l'auteur l'indique dans une note récente, ce 

 principe conduit naturellement à une large extension 

 de la théorie des fonctions de variable imaginaires, 

 .ajoutons que les équations de la forme (3) et (4) se 

 rencontrent dans ime foule de questions d'acoustique, 

 d'électricité, etc. Par l'importance et la généralité des 

 résultats, comme par l'élégance et la netteté des mé- 

 thodes, les mémoires que nous venons d'analyser s'im- 

 posent donc à l'étude non seulement des analystes, 

 mais de tous ceux qui s'intéressent à la physique ma- 

 Ihématique. 



P. PaiiM.evé. 



Bulletin du Comité international permanent pour 

 l'exécution photographique de la Carte du Ciel. 



Si.rii'nie fascicule, grand iu-'i-'' Gauthier Villars et fils, 

 o.'i, quai des Grands- Augustins, 1801. 



Le sixième fascicule du Bulletin rédigé par le Comité 

 international permanent pour l'exécution photogra- 

 phique de la Carte du Ciel, vient de paraître: il ne 

 ciintient pas moins de huit mémoires, bien qu'il n'ait 

 que 90 pa^es. Ces mémoires, que nous ne |jouvons son- 

 ger à analyser ici, sont fort intéressants; nous donnons 

 ci-dessous leurs titres : 



Plan et détails de l'appareil parallaclique de mesures 

 par M. Kapteyn. — Description d'un appareil parallac- 

 lique <h' mesures, par M. P. (iautier. — Sur une mé- 

 thode très simple permettant d'orienter un instrument 

 à monture parallactique plus exactement qu'on ne 

 peut le faire en général par des lectures des cercles, 

 par M. J. Scheiner, astronome à l'observatoire de 

 Pofsdam (traduction par Mlle D. Klnmpke). — Sur la 

 loi des diamètres jihotographiques des disques stel- 

 laires, jiar M. .Max Wnlf (traduction par Mlle D. Klum- 



