BIBLIOGRAPHIE. 



ANALYSES ET INDEX 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



OItpaiiiai'e (li.), Doijcii de la FaruUr dm Sricnrcs de 

 Geiicvc. —Calcul de généralisation. — Mrm. Inn- 

 tiliit nalioual (jcneviii^, t. XVI. 



Dans le courl exposé que je vais faire de ce nouveau 

 mode de calcul, je n'ai pas la prétention d'exposer la 

 suite des idées qui ont conduit l'auteur à sa découverte : 

 je chercherai seulement à faire comprendre ce calcul 

 dans son esprit et à en indiquer brièvement les princi- 

 pales applications. 



La manière la plus simple de saisir l'idée fondamen- 

 tale du calcul de fjénéralisation est peut-être de le re- 

 garder comme une extension du calcul des dérivées à 

 indices quelconques, créé par l'illustre Liouville. De 

 même que ce géomètre, M. Oltramare regarde toute 

 fonction comme développable en une série d'exponen- 

 tielles;)/, désignant une variable indépendante, il pose: 



(1) 



.{a 





+ A e 



Y 



T" 



les lettres a, pp.f, Aa, A(î, Ay..,. désignant des cons- 

 tantes quelconques réelles ou imaginaires, en nombre 

 limité ou illimité. Cela fait, on exprime la série du 

 second membre à l'aide d'une notation abrégée en écri- 

 vant : 



(2) ç(rO = <ie"" 



Cette notation, qui peut paraître étrange au premier 

 abord, n'a d'autre sens que celui exprimé par la for- 

 mule (I) et l'on pouirait tout aussi bien poser suiva n 

 l'usage courant en mathématiques tp (a) ^ S A,, e"" , u 

 devant recevoir successivement les valeurs a, p, y... ; 

 on dit que 9 (a) dérive de e"" par généralmttion. Cela 

 posé, Liouville nommait dérivée àindice y. et représen- 



JfA 



tait par la notation ? la quantité : 



M. Oltramare a eu l'idée de constituer un calcul plus 

 général dans lequel on considère des expresssions de 

 la forme 



A^ c="'^^a)+ApeP"4,(p) + A^(.^f"^(y)+..., 



la fonction ij; étant quelconque et pouvant contenir la 

 variable a. 



Conformément à la notation précédemment adoptée, 

 on désignera cette expression par le symbole 



(3) 



de telle sorte que G e<"' représentante («), Ce""']/ («) 

 sera le résultat d'une certaine opération elTectuée sur 

 cette même fonction 9 (a); il ne faut pas perdre de vue 

 que + (m) pouvant contenir a, l'expression e"" 4' (m) est 

 susceptible de représenter une fonction quelconque de 

 a et », de sorte que la formule (2) est entièrement 

 équivalente à ; 



(4) G F {») 



cette dernière représente par conséquent, elle aussi, 

 une certaine opération exécutée sur <p {a); c'est cette 

 opération que le nouveau calcul a pour objet de pré- 

 ciser. On peut d'ailleurs constater facilement que les 

 différentes opérations usitées dans l'analyse ne sont que 

 des cas spéciaux de la généralisation, tant du moins 



r^ ail , , . 



qu'elles sont caraclérisées par des symboles linéaires 

 ou distributifs. 



Faisons comprendre ceci par un exemple fort simple 

 et choisissons une opération ^ (a) définie comme suit : 



5cp (n) ; 



■ ? (n) 



On peut immédiatement vérifier que 



10) Ci \a) = Lir m — Il 



(fi) et même 5"ç («) = g/'"(» — 1)" 



Ces deux opérations 89 et 8" 9 ne sont que des cas spé- 

 ciaux de la généralisation; de plus en développant le 

 second jmembre de (6) selon la formule du binôme, on 

 trouve immédiatement : 



," (n) , , n (n—\) , , , n [n — \) (n—\), . 



9=9' ^(«)— -9' ■ l«) -I j-5— ? '{")—■■■ 



Cet exemple, si élémentaire qu'il soit, peut déjà faire 

 comprenilre le parti à tirer Ju calcul de généralisation, 

 quand les opérations qu'on a en vue ne sont que des 

 opérations linéaires; s'il s'agit au contraire d'opéra- 

 tions non linéaires, ce calcul ne s'applique plus. Il 

 peut donc être considéré comme une synthèse ou 

 théorie générale des opérations linéaires. Rieu n'oblige 

 d'ailleurs de le restreindre aux fonctions d'une seule 

 variable : on peut poser, en effet, une équation caracté- 

 ristique telle que : 



(f[a, b, c, ...) = Or ' ' 



et déduire de là la signification du symbole CF {u,v,w...) 

 Dans le mémoire de l'auteur, on trouve un grand 

 nombre de déterminations de valeurs de GF (u) de 

 formes très différentes; en outre, un procédé permet- 

 tant de déduire de G <!/ (u) et G ■/ (») supposées connues la 

 valeur de G '> (m) x (u) ; enfin une formule générale, conte- 

 nant deux intégrales doubles, qui fournit la valeur de 

 GF (») quelle que soit la fonction F (u). La généralisa- 

 tion peut donc être regardée comme parfaitement définie, 

 quelle que soit la fonction sur laquelle on l'exécute. 



Quant aux applications, elles sont particulièrement 

 intéressantes et elles embrassent un champ considé- 

 rable ; pour s'en faire une idée, il suffit, par exemple, de 

 remarquer que toute identité contenant une lettre arbi- 

 traire peut par généralisation être transformée en 

 identité contenant une fonction arbitraire. Il esta peine 

 besohi d'observer que ce procédé (dont la diflérentia- 

 tion et l'intégration sous le signe ne sont que des cas 

 spéciaux) ne fournira des résultats vraiment nouveaux 

 que lorsqu'il sera appliqué avec discernemenl. Quoi 

 qu'il en soit, M. Oltramare a montré par de nombreux 

 exemples qu'il est possible d'en déduire les valeurs 

 d'intégrales définies non connues jusqu'ici, ou des 

 relations entre plusieurs intégrales définies, séparément 

 inconnues. 



Un autre groupe d'applications est relatif à l'intégra- 

 tion des équations difiérentielles, au calcul inverse des 

 intégrales définies et à d'autres problèmes de calcul 

 intégral. Ces problèmes, qui sont regardés comme diffé- 

 rents entre eux dans le calcul ordinaire, apparaissent 

 au contraire dans le calcul de généralisation comme 

 étroitement liés les uns aux autres, ou plutôt, ils ne 

 sont tous que des cas particuliers d'un seul problème 

 général. Ce problème est le suivant : Ktant donnée la 

 valeur de 



G F (a, (/)=^(a), 



