600 



MAURICE D'OCAGNE. — LA NOMOGRAPHIE 



suppose toujours, en effet, qu'aux varial)les x et y 

 cori-espondentrespeclivemenldeux cours de droites 

 cotées parallèles aux axes de coordonnées. Or 

 ceux-ci peuvent tout aussi bien être remplacés par 

 deux systèmes quelconques de droites graduées. 

 11 sufTit pour cela de supposer que les coeflicients 

 de l'équation de la droite qui engendre le premier 

 de ces systèmes soient des fonctions de x seulement, 

 et ceux de la droite qui engendre le second, des 

 fonctions de y seulement. On a ainsi trois systèmes 

 constitués par des droites variables dont les équa- 

 tions ont des coefiicients qui ne renferment respec- 

 tivement que a;, y ou z. La condition pour que ces 

 droites soient concourantes se traduit précisément 

 par l'équation en ,r, y et z dont l'abaque ainsi cons- 

 truit fournit la représentation. Cette condition 

 s'écrit immédiatement sous forme de déterminant ; 

 on voit que celui-ci renferme six fonctions arbi- 

 traires contenant groupées deux à deux, chacune 

 une saule des trois variables, alors que les équations 

 considérées par M. Lalanne ne contenaient que 

 quatre fonctions arbitraires, une en r, une en // et 

 deux en it. Cette généralisation dn principe de 

 l'anamorphose se trouve indiquée dans un travail 

 de M. Massau ' qui renferme de fort intéressantes 

 considérations sur l'intégration graphique. Nous 

 avons, k notre tour, fait voir comment une appli- 

 cation judicieuse du principe de dualité permettail 

 de substituer aux abaques à droites isoplèlbes 

 d'autres abaques à points isoplèthes, k la fois plus 

 simples, plus clairs et se prêtant mieux à l'inter- 

 polationàvue. C'est un point surlequelnous revien- 

 drons plus loin. 



IV 



Lorsque l'équation est à plus de trois variables, 

 sa représentation graphique, dans le cas général, 

 semble au premier abord n'être pas possible. S'il 

 s'agit par exemple, d'une relation entre quatre va- 

 riables, pour chaque valeur de l'une d'elles, l'en- 

 semble des trois autres donne à lui seul naissance 

 k un abaque recouvrant tout le plan. La superpo- 

 sition de ces divers abaques est matériellement 

 irréalisable. Il y a donc un très grand intérêt à 

 chercher des catégories aussi générales que pos- 

 sible d'équations de ce genre pour lesquelles 

 on pourra faire connaître un tel genre de repré- 

 sentation. Un pas, des plus importants, a été fait 

 dans cette voie par M. l'ingénieur des mines Lalle- 

 mand, connu, par ailleurs, pour ses beaux travaux 

 de géodésie. Les équations dont il a fait connaître 

 la représentation répondent au caractère suivant : 

 chacun de leurs membres se compose d'une somme 



' Annales de l'Association des in;iénieiu-s sortis des écoles 

 spéciales de Gand, 1884. 



de produits de fonctions de deux variables seule- 

 ment. Ces équations sont donc de la forme. 



i2 F (,r, »/)<!. (,., q) V {», l') . . . ± /•(/■, / ? (.-, s) ... 



= •/. ''«^ P''Hr>S) ... 



Ces fonctions de deux variables peuvent être 

 dites les éléments I/inaires de l'équation. Les valeurs 

 de chacune d'elles sont fournies par un abaque à 

 isoplèthes, anamorphose ou non, qui les donne sur 

 un axe gradué naturellement , c'est-à-dire en seg- 

 ments proportionnels à leur grandeur. Grâce à un 

 groupement convenable de ces abaques partiels 

 ces segments représentatifs sont combinés par voie 

 de multiplication, et les produits obtenus par voie 

 d'addition au moyen d'un procédé très ingénieux 

 imaginé à cet effet par M. Lallemand. Dans ce pro- 

 cédé, l'addition graphique, basée sur une propriété 

 remarquable d'axes inclinés à 60° les uns sur les 

 autres, s'opère a,a moyen d'un indicateur transpa- 

 rent dont les axes sont les diagonales d'un hexa- 

 gone régulier ; d'où le nom d'abaques hexagonaux 

 donné par Lallemand à ses tableaux graphiques. 



L'importance de ceux-ci est attestée par les nom- 

 breuses applications qu'en a faites M . Lallemand au 

 service du nivellement général de la France, dont 

 il est chargé. Les opérations sur le terrain qu'exige 

 ce nivellement sont, en effet, complétées, dans les 

 bureaux, par des calculs laborieux résultant de 

 l'application de formules de corrections compli- 

 quées où entrent de nombreuses variables. Parla 

 construction de ses abaques, M. Lallemand est par- 

 venu à affranchir son personnel de cette fastidieuse 

 besogne, réalisant ainsi une énorme économie de 

 temps. lia, en outre, dressé des abaques analogues 

 pour des spécialités autres que la sienne; citons 

 celui des déblais et remblais, celui de la déviation 

 du compas, etc.. La pratique offre, en effet, un 

 champ d'application pour ainsi dire indéfini à 

 l'application delà méthode de M. Lallemand. 



Le groupement deux à deux des variables, des- 

 tiné à faire apparaître dans l'équation les éléments 

 binaires dont il a été parlé plus haut, n'est pas tou- 

 jours possible. La difficulté peut parfois être 

 tournée par l'admission de la même variable dans 

 plusieurs éléments binaires : mais celle-ci donne 

 alors naissance à un cours spécial d'isoplèthes dans 

 l'abaque partiel correspondant à chacun d'eux. 

 Outre qu'il résulte de là certaine complication, il 

 faut remarquer que Vahaque ne permette calcul d'une 

 des quantités qui ij fiçjurent qu'autant qu'à celle-ci ne 

 correspond qu'un seul cours cFisoplèthes. Cette remar- 

 que montre, en particulier, que les abaques hexa- 

 gonaux ne sauraient se prêter à la résolution des 

 équations algébriques à plus de trois termes. 11 

 est donc intéressant de rechercher des méthodes 



