2» ANNÉE 



N° 23 



15 DÉCEMBRE 1891 



_£_ r 



REVUE GENERALE 



DES SCIENCES 



PURES ET APPLIQUÉES 



DIRECTEUR : LOUIS OLIVIER 



LES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES 



Toute conclusion suppose des prémisses; ces pré- 

 misses elles-mêmes ou bien sont évidentes par 

 ■elles-mêmes et n'ont pas besoin de démonstration, 

 ou bien ne peuvent être établies qu'en s'appuyant 

 sur d'autres propositions, et comme on ne saurait 

 remonter ainsi ù, l'infini, toute science déductive, 

 et en particulier la géométrie, doit reposer sur un 

 certain nombre d'axiomes indémontrables. Tous les 

 traités de géométrie débutent donc par l'énoncé 

 de ces axiomes. Mais il y a entre eux une distinc- 

 tion à faire : quelques-uns, comme celui-ci par 

 exemple : « deux quantitéségales à une même troi- 

 sième sont égales entre elles », ne sont pas des pro- 

 positions de géométrie, mais des propositions 

 d'Analyse. Je les regarde comme des jugements 

 analytiques à priori, je ne m'en occuperai pas. 



Mais je dois insister sur d'autres axiomes qui 

 sont spéciaux à la géométrie. La plupart des trai- 

 tés en énoncent trois explicitement : 



1° Par deux points ne peut passer qu'une droite; 



2° La ligne droite est le plus court chemin d'un 

 point à un autre ; 



3° Par un point on ne peut faire passer qu'une 

 parallèle à une droite donnée. 



Bien que l'on se dispense généralement de dé- 

 montrer le second de ces axiomes, il serait possible 

 de le déduire des deux autres et de ceux, beaucoup 

 plus nombreux, que l'on admet implicitement sans 

 les énoncer, ainsi queje l'expliquerai plus loin. 



On a longtemps cherché en vain à démontrer 

 également le troisième axiome, connu sous le nom 

 Ae postulaium d'Euclide. Ce qu'on a dépensé d'ef- 

 forts dans cet espoir chimérique est vraiment ini- 



Revue qénérale, 1891. 



maginable. Enfin au commencement du siècle et à 

 peu près en même temps, deux savants, un Russe 

 et un Hongrois, Lowatschewski et Bolyai établirent 

 d'une façon irréfutable que cette démonstration est 

 impossible; ils nous ont à peu près débarrassés des 

 inventeurs de géométries sans postulatum; depuis 

 lors l'Académie des Sciences ne reçoit plus guère 

 qu'une ou deux démonstrations nouvelles par an. 



La question n'était pas épuisée; elle ne tarda pas 

 à faire un grand pas par la publication du célèbre 

 mémoire de Riemann intitulé : Uther die Hijpotheuen 

 icelche der Géométrie zum Gritnde liegen. Cet opus- 

 cule a inspiré la plupart des travaux récents dont 

 je parlerai plus loin et parmi lesquels il convient de 

 citer ceux de Beltrami et de von Helmholtz. 



La Géométrie de Lowatcheivsld. — S'il était possible 

 de déduire le postulatum d'Euclide des autres 

 axiomes, il arriverait évidemment qu'en niant le 

 postulatum, et en admettant les autres axiomes, on 

 serait conduit à des conséquences contradictoires; 

 il serait donc impossible d'appuyer sur de telles 

 prémisses une géométrie cohérente. 



Or c'est précisément ce qu'a fait Lowatchewskl. 

 Il suppose au début que : 



L'on peut par tm point mener plusieurs parallèles à 

 une droite donnée ; 



Et il conserve d'ailleurs tous les autres axiomes 

 d'Euclide. De ces hypothèses, il déduit une suite 

 de théorèmes entre lesquels il est impossible de 

 relever aucune contradiction et il construit une 

 géométrie dont l'impeccable logique ne le cède en 

 rien à celle de la géométrie euclidienne. 



Les théorèmes sont, bien entendu, très différents 



23 



