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H. POIXCARÊ. — LES GÉOMÉTfllES NON EUCLIDIENNES 



de ceux auxquels nous sommes accoutumés et ils 

 ne laissent pas de déconcerter un peu d'abord. 



Ainsi la somme des angles d'un trianîj;le est tou- 

 jours plus petite que deux droits et la dillV-rence 

 entre celle somme et deux droits est proportion- 

 nelle à la surface du triangle. 



Il est impossible de construire une figure sem- 

 blable à une figure donnée mais de dimensions 

 différentes. 



Si Ton divise une circonférence en n parties 

 égales, et qu'on niène des tangentes aux points de 

 division, ces n tangentes formeront un polygone si 

 le rayon de la circonférence est assez petit; mais si ce 

 rayon est assez grand, elles ne se rencontrerontpas. 



Il est inutile de multiplier ces exemples ; les 

 propositions de Lowatchewski n'ont plus aucun 

 rapport avec celles d'Euclidc, mais elles ne sont 

 pas moins logiquement reliées les unes aux autres. 



La Géométrie de Riemann. — Imaginons un monde 

 uniquement peuplé d'êtres dénués d'épaisseur; et 

 supposons que ces animaux « infiniments plats n 

 soient tous dans un même plan et n'en puissent 

 sortir. Admettons de plus que ce monde soit assez 

 éloigné des autres pour être soustrait à leur in- 

 fluence. Pendant que nous sommes en train de 

 faire des hypothèses, il ne nous en coûte pas plus 

 de douer ces êtres de raisonnement et de les croire 

 capables de faire de la géométrie. Dans ce cas, ils 

 n'attribueront certainement à l'espace que deux 

 dimensions. 



Mais supposons maintenant que ces animaux 

 imaginaires, tout en restant dénués d'épaisseur, 

 aient la forme d'une figure sphérique, et non d'une 

 figure plane et soient tous sur une même sphère sans 

 pouvoir s'en écarter. Quelle géométrie pourront- 

 ils construire? Il est clair d'abord qu'ils n'attribue- 

 ront à l'espace que deux dimensions; ce qui 

 jouera pour eux le rôle de la ligne droite, ce sera 

 le plus court chemin d'un point à un autre sur la 

 sphère, c'est-à-dire un arc de grand cercle; en un 

 mot leur géométrie sera la géométrie sphérique. 



Ce qu'ils appelleront l'espace, ce sera cette 

 sphère d'où ils ne peuvent sortir et sur laquelle se 

 passent tous les phénomènes dont ils peuvent 

 avoir connaissance. Leur espace sera donc sans 

 limites puisqu'on peut sur une sphère aller tou- 

 jours devant soi sans jamais être arrêté, et cepen- 

 dant il sera /îw»; on n'en trouvera jamais le bout, 

 mais on pourra en faire le tour. 



Eh bien, la géométrie de Riemann, c'est la 

 géométrie sphérique étendue à trois dimensions. 

 Pour la construire, le mathématicien allemand a 

 dû jeter par-dessus bord, non seulement le pos- 

 lulatum d'Euclide, mais encore le premier axiome : 

 Par deux points on nepeut faire passer qiiiine droite. 



Sur une sphère, par deux points donnés on ne 



peut faire en général passer qu'un grand cercle 

 (qui, comme nous venons de le voir, jouerait le 

 rôle de la droite pour nos êtres imaginaires); mais 

 il y a une exception : si les deux points donnés 

 sont diamétralement opposés, on pourra faire pas- 

 ser parées deux points une infinité de grands 

 cercles. 



De même dans la géométrie de Riemann, par 

 deux points ne passera en général qu'une seule 

 droite; mais il y a des cas exceptionnels où par 

 deux points pourront passer une infinité de 

 droites. 



II y a une sorte d'opposition entre la géométrie 

 de Riemann et celle de Lowatchewski. 



Ainsi la somme des angles d'un triangle est : 



Égale à deux droits dans la géométrie d'Euclide^ 



Plus petite que deux droits dans celle de Lo- 

 watchewski. 



Plus grande que deux droits dans celle de Rie- 

 mann. 



Le nombre des parallèles qu'on peut mener à 

 une droite dcnnée par un point donné est égal : 



A un dans la géométrie d'Euclide, 



A zéro dans celle de Riemann, 



A l'infini dans celle de Lowatchewski. 



Ajoutons que l'espace de Riemann est fini,. 

 quoique sans limite, au sens donné plus haut à 

 ces deux mots. 



Les surfaces à courbures constantes. — Une objec- 

 tion restait possible cependant. Les théorèmes 

 de Lowatchewski et de Riemann ne présentent 

 aucune contradiction ; mais (quelque nombreuses 

 que soient les conséquences que ces deux géo- 

 mètres ont tirées de leurs hypothèses, ils ont dû 

 s'arrêter avant de les avoir toutes épuisées, car- 

 ie nombre en serait infini ; qui nous dit alors que 

 s'ils avaient poussé plus loin leurs déductions, 

 ils n'auraient pas fini par arriver à quelque contra- 

 diction? 



Cette difficulté n'existe pas pourla géométrie de 

 Riemann, pouvu qu'on se borne à deux dimensions; 

 la géométrie de Riemann à deux dimensions 

 ne diffère pas en effet, nous l'avons vu, de la géo- 

 métrie sphérique, qui n'est qu'une branche de la 

 géométrie ordinaire et qui est par conséquent ea 

 dehors de toute discussion. 



M. Beltrami, en ramenant de même la géomé- 

 trie de Lowatchewski à deux dimensions à ne plus 

 être qu'une branche de la géométrie ordinaire, a 

 réfuté également l'objection en ce qui la con- 

 cerne. 



Voici comment il y est parvenu. Considérons sur 

 une surface une figure quelconque. Imaginons 

 que cette figure soit tracée sur une toile flexible et 

 inextensible appliquée sur cette surface, de tellfr 

 façon que quand la toile se déplace et se déforme, 



