H. POINCAKE. 



LES (lÉOMÉTRlES NON EUCLIDIENNES 



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1" L'espace a )i dimensions. 



2° Le mouvement d'une ligure invariable est 

 possible. 



3° II faut p conditions pour déterminer la posi- 

 tion de cette figure dans l'espace. 



Le nombre des géométries compatibles avec ces prc- 

 missessera limité. 



Je puis même ajouter que si n est donné, on 

 peut assigner à ji une limite supérieure. 



Si donc on admet la possibilité du mouvement, 

 on ne pourra inventer qu'un nombre fini (et même 

 assez restreint) de géométries à trois dimensions. 



Les géométries de Riemann. — Cependant ce résul- 

 tai semble contredit par Riemann, car ce savant 

 construit une inlinité de géométries différentes, et 

 celle à laquelle on donne ordinairement son nom 

 n'en est qu'un cas particulier. 



Tout dépend, dit-il, de la façon dont on définit 

 la longueur d'une courbe. Or il y a une infinité de 

 manières de définir cette longueur, et chacune 

 d'elles peut devenir le point de départ d'une nou- 

 velle géométrie. 



Cela est parfaitement exact; mais la plupart de 

 ces définitions sont incompatibles avec le mouve- 

 ment d'une figure invariable, (jue l'on suppose 

 possible dans le théorème de Lie. Ces géométries 

 de Riemann, si intéressantes à divers titres, ne 

 pourraient donc jamais être que purement analy- 

 tiques et ne se prêteraient pas à des démonstra- 

 tions analogues à celles d'Euclide. 



De la nature desaxiomes. — La plupart des mathé- 

 maticiens ne regardent la géométrie de Lowat- 

 chcwski que comme une simple curiosité logique; 

 quelques-uns d'entre eux sont allés plus loin 

 cependant. Puisque plusieurs géométries sont pos- 

 sibles, est-il certain que ce soit la nôtre qui soit 

 vraie? L'expérience nous apprend sans doute que 

 la somme des angles d'un triangle est égale à deux 

 droits ; mais c'est parce que nous n'opérons que 

 sur des triangles trop petits; la différence, d'après 

 Lowatchewski, est proportionnelle à la surface du 

 triangle : ne pourra-t-elle devenir sensible quand 

 nous opérerons sur des triangles plus grands ou 

 quand nos mesures deviendront plus précises? 

 La géométrie Euclidienne ne serait ainsi qu'une 

 géométrie provisoire. 



Pour discuter cette opinion, nous devons d'abord 

 nous demander quelle est la nature des axiomes 

 géométriques. 



Sont-ce des jugements synthétiques a prioi'i, 

 comme dirait Kant? 



Ils s'imposeraient alors à nous avec une telle 

 force, que nous ne pourrions concevoir la proposi- 

 tion contraire, ni bâtir sur elle un édifice théo- 

 rique. Il n'y aurait pas de géométrie non eucli- 

 dienne. 



Pour s'en convaincre, qu'on prenne un véritable 

 jugement synthétique a priori, par exemple ce- 

 lui-ci : 



Si l'on a une suite infinie de nombres entiers positifs, 

 tous différents entre eux, il y en entra toujours un qui sera 

 plus petit que tous les autres. 



Ou cet autre qui est équivalent : 



Si un théorème est vrai pour le nombre 1, si on a dé- 

 montré qu'il est vrai de n-\-\ , pourvu qu'il le soit de 

 n, il sera vrai de tous les nombres entiers positifs. 



Qu'on essaie ensuite de s'y soustraire et de 

 fonder, en niant ces propositions, une fausse 

 arithmétique analogue à la géométrie non eucli- 

 dienne, — on n'y pourra pas parvenir; on serait 

 même tenté au premier abord de regarder ces 

 jugements comme analytiques. 



D'ailleurs, reprenons notre fiction des animaux 

 sans épaisseur; nous ne pouvons guère admettre 

 que ces êtres, s'ils ont l'esprit fait comme nous, 

 adopteraient la géométrie euclidienne qui serait 

 contredite par toute leur expérience? 



Devons-nous donc conclure que les axiomes de 

 la géoniétrie sont des vérités expérimentales? 

 Mais on n'expérimente pas sur des droites ou des 

 circonférences idéales ; un ne peut le faire que sur 

 des objets matériels. Sur quoi porteraient donc les 

 expériences qui serviraient de fondement à la géo- 

 métrie ? La réponse est facile. 



Nous avons vu plus haut que l'on raisonne cons- 

 tamment comme si les figures géométriques se 

 comportaient à la manière des solides. Ce que la 

 géométrie emprunterait à l'expérience, ce seraient 

 donc les propriétés de ces corps. 



Mais une difficulté subsiste, et elle est insur- 

 montable. Si la géométrie était une science expé- 

 rimentale, elle ne serait pas une science exacte, 

 elle serait soumise à une continuelle révision. Que 

 dis-je? elle serait dès aujourd'hui convaincue 

 d'erreur puisque nous savons qu'il n'existe pas de 

 solide rigoureusement invariable. 



Les axiomes géométriques ne .sont donc ni des juge- 

 ments syntliétiques à priori niules faits expérimentaux. 



Ce sont des conventions ; notre choix, parmi toutes 

 les conventions possibles, est guidé par des faits 

 expérimentaux ; mais il reste libre et n'est limité 

 que par la nécessité d'éviter foute contradiction. 

 C'est ainsi que les postulats peuvent restei- rigou- 

 >'eKse;«f»i? vrais quand même les lois expérimentales 

 qui ont déterminé leur adoption ne sont qu'ap- 

 proximatives. 



En d'autres termes, les axiomes de la géométrie (je 

 ne parle pas de ceux de l'arithmétique) ne sont que 

 des définitions déguisées. 



Dès lors, que doit-on penser de cette question : 

 La géométrie euclidienne est-elle vraie? 



Elle n'a aucun sens. 



