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c=lim f(x,y) 



besitzt, falls jeder positiven Zahl e eine positive Zahl S sich 

 so zuordnen lässt, dass für jedes Werthsysteiu x, y, wofür 



|x— a]<S |y— b|<S ist |f(x,y)— c|<e 

 ist. Gebraucht man Polarcoordinaten, d. h. setzt man 



X — a=rcos^ y— b=rsin(p ( — V2^<C!?^V2^)» 

 so besteht die notwendige und hinreichende Bedin- 

 gung dazu, dass f(x, y) bei den soeben erwähnten Grenzüber- 

 gängen lirax^=a liniy=b den endlichen Grenzwerth c, hat, 



darin, dass 



f(a-|-rcos9, b-f-rsincp) 



bei limr^=0 gleichraässig für alle Werthe von (p 



im Intervalle ( — VgTu, VjTc) zum Grenzwerth c conver- 



girt, d. h. jeder positiven Zahl s entspricht eine positive Zahl 



p in der Art, dass wenn nur |r|<^p ist, 



|f(a-|-r cos ^, b-f-rsin(p) — g\<^b 



ist, welchen der obigen Werthe ^ auch annehmen mag. 



b) Es seien F(x, y), <I>(x, y) ganze Functionen von x 



und y, die für x^:=0, y=0 verschwinden, und zwar sei 



F(x,y)=U,„(x,y)+U,„+i(x,y)+... 



<D(x,y)=ß„(x,y)+ß"+i(x,y)-l- . . ., 

 worin Up(xy)ßp(xy) homogene Functionen der pten Dimen- 

 sion von X, y bezeichnen. Ferner sei m^n. Ist Q^(x, y) 

 eine definite Form nter Ordnung von xy , so 

 hat man 



M -^ = 0. 



Beweis. Setzt man cos cp=u sin (p^=v und x=ru 

 y=rv, so ergibt sich 



F(ru,rv) _ ^^_^ U.n(»>v)+Küm+l(u,v)+ • • ■ } 

 4>(ru,rv) ß„(u,v)+r|ßn+i(u,v)-|- } 



Bedeutet U'p(x,y) das aus Up(xy) dadurch hervorgehende 



1) G. Peano. Calcolo differenziale ecc. Turin 1884 p. 189, 

 Dort ist der Beweis auf andere Art geführt. 



