﻿XXlX 



Ihr absoluter Betrag müss daher seine untere Grenze X er- 

 reichen; X kann also nicht sein, 



d) Wenn eine eindeutige stetige Function f(x,y) an einer 

 bestimmten Stelle x=a y^^b endliche partielle Differential- 

 quotienten nach X und nach y besitzt, so folgt daraus allein 

 nicht die Existenz eines vollständigen Differentials 

 von f(xy) an der betrachteten Stelle. D, h. mögen auch 



2f af ..... 



— uud — — endliche Zahlen sein, so ist nicht immer die 

 aa ab 



Darstellung 



tia+h,b-l-k)-f(a,bHh(^+p)+h(^+a) (1) 



möglich, worin p a Functionen von h und k sein sollen, welche 

 bei den Grenzübergängen lim h=^0 lim k=0 verschwinden, 

 so dass jedem s^O ein §^0 so entsprechen muss, dass 

 neben 



Ih|<a lkl<S lp|<e \o\<B (2) 



ist. — Um diese von J. Thomae herrührende Bemerkung^) 

 durch ein Beispiel zu erläutern, betrachte man die Function 



z=VM" 



an der Stelle x^^O y=0. Es ist hier — =0 -— =-0 ; 



■' ax ay 



eine Gleichung 



z= Vi^=xp(x»y)+y<X'y) 



worin 



lim p(x,y)=0 lim a(x,y)^=0 

 X— y^O x=0 y=0 



ist, ist jedoch unmöglich. Denn angenommen, es gäbe eine solche 

 Darstellung von z, so würde daraus durch die Substitution 

 x=rcos^ y=rsin^ folgen 



\f\^/2 sin 2cpl = cos (p p(r COS (p, r sin ^) -[-sin (p a(r cos ^, r sin (p) . 

 Die rechte Seite dieser Gleichung liefert bei limr = den 

 Grenzwerth 0, die linke nur, wenn (p-=0 oder y^"^ i^^, worin 

 ein Widerspruch liegen würde. 



]) Vgl. J. Thomae Einleitung in die Theorie d. best. Inte- 

 grale 1875 p. 37. 



