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Wie Thorn ae a. a. 0. herv^orliebt, ist zur Existenz des 

 vollständigen Differentials von f(xy) an der Stelle x=a y=b 

 notwendig, dass der Ausdruck 



f(a-|-r cos ^, b-(-r sin ^) — f(a, b) 



r- (S) 



bei limr^-^0 gleichmässig für alle Werthe von <p 

 im Intervalle ( — V2 '^» V2 '^) ^lura Grenzwertbe 



— cos^ + — sm^p (4) 



convergire. Der Unterschied von (3) und (4) ist zufolge (1) 



cos (p.p(r cos ip, r sin (p)-|-sin (p.a(r cos «p, rsin (p), 

 somit ist er nach (2) in der That dem absoluten Betrage 

 nach kleiner als 2s, wenn nur |r|<^6 ist. — Die soeben 

 angeführte Bedingung ist aber auch hinreichend. 

 Bezeichnet man den Unterschied von (3) und (4) mit w (r, (p), 

 so hat man 



f(a-f-r cos^, b-f-r sin ^) — f(a, b) 



^^l^ cos^+— sm<pj+rw(r,(p). 



und wenn rcos(p=h rsin(p=k w(r, 9)^^(ö(h, k) gesetzt wird, 

 f(a+h,b-fk)-f(a,b) = 



9f 3f 



— h-f — k-f (h cos 9+k sin (p)(ö(h,k). 



Zufolge Voraussetzung entspricht jedem e^O ein S^O in 

 der Art, dass für 



lrl<S |w(r,(p)|<e 

 ist, welchen Werth im Intervalle ( — VgTr, V27t) tp auch an- 

 nehmen mag. Somit ist, wenn nur |h| und |k| kleiner als 

 8 : \A2~ sind, 



Ico(h,k)|<e. 

 Setzt man nun 



k 

 p— -arctan-j— w cos ^=^p(h, k) w sin ^— o(h,k), 



so ist unter denselben Bedingungen 



|p(h,k)l<s ia(h,k)|<e. 

 Man findet also in der That die Formeln 



