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ia welcher die partiellen Ableitungen — , — , — 



^ ^ ax aui ' au» 



mit Klammern verselien sind, um damit auszudrücken, dass 



V 



uach der Differentiation x^=x,^, Ui=ai 'iii^=a'ii zu 



setzen ist. 



ap- 

 ax 



/aF^ 



Ist nun I — I , der Coefficient von $, von Null ver- 



schieden, oder mit anderen Worten, ist x^ eine einfache 

 Wurzel der Gleichung (2, so gibt es eine nach ganzen posi- 

 tiven Potenzen der Veränderlichen a^, . . . a^ fortschreitende 

 Potenzreihe ^v (aj, ... a„), welche sicher convergiert, so 

 lange die absoluten Beträge [a^l, . . . |a,i| eine gewisse, von 

 Null verschiedene positive Zahl p nicht überschreiten und für 

 i in die Gleichung (3 eingeführt, dieselbe erfüllt. 



Die Begründung dafür ist in dem , Vorbereitungssatze " 

 enthalten, welchen Weierstrass in den Abhandlungen aus der 

 Functionenlehre, Berlin 1886, p. 107 ff., mitgetheilt hat. 



Ist somit |D(ai, . . . ajJj^O, in welchem Falle die 

 Stelle a als eine reguläre bezeichnet wird, so gibt es n ver- 

 schiedene Polenzreihen 



^i(ai, aa . . . a^), ^„(«i, ag . . . aj, 



welche die n Wurzeln der Gleichung (1 in einer hinreichend 

 kleinen Umgebung der Stelle a darstellen. 



Die Glieder der ersten Dimension der Reihe ^v (ai, . . . 

 «y) werden aus (3 unmittelbar erhalten, indem man die linke 

 Seite nach Einführung von 



(V) 



Xi=0.1.2 . ..00, X2=0.l.2 . . . 00, . . . Xu=0.1.2 . . . 00 



X,-|-X2+...+X,>0 

 auf die Glieder 1. Dimension beschränkt. 

 Die Reihe hat somit die Form : 



^v (a„ . . . a„) =--^a, - . . . . -^#7«..+ • • (4 



laxJ ^ax^' 



