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1, Bringt man das Argument x in die trigonometrische 

 Form 



x=--p(cos ^-j-i sin (f) (— Jt<^9^7c), (1) 



wobei die Neigung (p zw'schen — n und i: (die obere Grenze 



eingeschlossen) anzusetzen ist, so wird der Hauptwerth 



der Potenz von x mit dem reellen nioht-ganzen 



Exponenten (i durch die Formel 



xf^ = pjJ- (cos ^(p-{-i sin ^(p) (2) 



erklärt, unter p^«- , wie bisher, den positiven Werth dieser 



Potenz der absoluten Zahl p verstanden. 1st ^-=1 : m und 



m eine natürliche Zahl grösser als 1, so gibt (2) den Haupt- 

 in 



werth der m-ten Wurzel aus x, welcher mit \Jx bezeichnet 



wird. 



Der Hauptwerth des Logarithmus von x ist 

 Ip-j-^i» worin Ip den reellen Logarithmus von p bedeutet, der 

 Hauptwerth der Potenz von x mit dem nicht-ganzen 

 Exponenten s ist e^^-% wenn e^ die Summe der Exponential- 

 reihe vorstellt. Die genannten Hauptwerthe (und nur sie) 

 werden bezw. mit Ix xs bezeichnet. 



Der für alle Punkte der Ebene ausser x=0 und x-=co 

 eindeutig definirte Hauptwerth Ix ist in allen mit Ausnahme 

 der Punkte der negativen reellen Axe stetig ^). Das Näm- 

 liche gilt vom Hauptwerthe xs ; nur ist er, falls der reelle 

 Theil von s positiv ist, auch im Punkte x--0 stetig 2). 



1. Der Hauptwert l9(x), worin ^(x) eine rationale Func- 

 tion von X bedeutet, ist stetig in allen Punkten der Ebene 

 mit Ausschluss derjenigen, in welchen ^(x) verschwindet oder 

 unendlich ist oder einen reellen negativen Werth annimmt. 

 Die Unstetigkeitspunkte dieser Function erfüllen demnach stetige 

 Theile der Curven, längs welcher der imaginäre Theil von 

 (p(44-i']0 verschwindet. Der Hauptwerth (pi^y zeigt das 

 gleiche Verhalten; nur ist er, falls der reelle Theil von s 

 positiv ist, auch in denjenigen Punkten stetig, wo ^(x) Null 



1) Vgl. Thomae a. a, 0, § 89. 



2) Vgl. Thomae a. a. 0. § 110. 



