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4. Auf den Linien, welche von den Punkten, worin einer 

 der obigen Hauptzweige unstetig ist, gebildet werden, liegen 

 die sämmtliclien singulären Punkte der betreffenden Functionen. 



Betrachtet man alle Linien der Construktionsebene, welche 

 in's Unendliche sich erstrecken, als im Punkte x^=oo zu- 

 sammenhängend, so darf man ein jedes System der vor- 

 stehenden Unstetigkeitslinien als eine begrenzte, sich selbst 

 nicht schneidende Linie ansehen. Z. B. das von der reellen 

 Strecke ( — \J^, V— y) ""^ ^^^ conjugirten Axe gebildete 

 System liefert die aus den Stücken: Strecke (^'3^,0), posi- 

 tive conjugirte Axe Ooo , negative c. A. oo und Strecke 

 (0, v'— -t) bestehende, zusammenhängende, begrenzte Linie. Der 

 Bereich, der von der Ebene nach Weglassung einer begrenzten, 

 sich selbst nicht schneidenden Linie übrig bleibt, ist als ein 

 einfach begrenzter, zu dem der Punkt x=oo gehört oder auf 

 dessen Begrenzung er liegt, zu bezeichnen. Auch für solche 

 Bereiche gilt der bekannte Satz von Weierstrass, dass 

 wenn das zu einem Punkte a innerhalb des Bereiches gehörige 

 Functionselement ^(x|a) auf allen innerhalb des Bereiches 

 verlaufenden Wegen fortgesetzt werden kann, aus ihm eine 

 für alle Punkte innerhalb des Bereiches eindeutige monogene 

 Function entspringt. Es ist leicht zu zeigen, dass ein jeder 

 der obigen Hauptzweige eine solche monogene Function bildet. 



Ist das Verhalten des oder eines Hauptzweiges bekannt, 

 so hat es keine Schwierigkeit, einen eindeutigen Zweig einer 

 cyclometrischen Function so zu definiren, dass er anstatt längs 

 einer der oben erwähnten, die singulären Punkte der Function 

 verbindenden Linie längs einer anderen einfachen, dieselben 

 Punkte enthaltenden Linie unstetig ist. Z. B. zieht man vom 

 Nullpunkte eine einfache Linie t, die vollständig auf der nega- 

 tiven Seite der reellen Axe liegt, in's Unendliche, so erhält 

 man einen in der ganzen Ebene eindeutigen und mit Aus- 

 nahme der Punkte von t stetigen Zweig des Logarithmus, 

 indem man für die Punkte x zwischen der reellen Axe und 

 der Linie t (die ersteren ausgeschlossen) je den Werth lx-|-27ti, 

 für alle übrigen je den Werth Ix wählt. 



