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Wie Thomae a, a. O, hervorhebt, ist zur Existenz des 
vollständigen Differentials von f(xy) an der Stelle x—a y—b 
notwendig, dass der Ausdruck 
f(a--r cos 9, b--r sin p) — f(a, b) (3) 
r 
bei limr—O gleichmässig für alle Werthe von 9 
im Intervalle (—Yr, 2) zum Grenzwerthe 
= cose + sing (4) 
convergire. Der Unterschied von (3) und (4) ist zufolge (1) 
cos p.p(T cos p,rsinp)+-sin p.o(r cos ~, rsin p), 
somit ist er nach (2) in der That dem absoluten Betrage 
nach kleiner als 2&, wenn nur rl <6 ist. — Die soebeu 
angeführte Bedingung ist aber auch hinreichend. 
Bezeichnet man den Unterschied von (3) und (4) mit w(t,p), 
so hat man 
f(a--r cos, b--r sin »)—f(a, b) 
of pa) aes 
=i (— cosp-+- =p sin  ) + rw(1, ¢). 
und wenn rcosp—h rsing—k w(r,~)—w(h,k) gesetzt wird, 
f(a--h, b-+-k)—f(a, b) = 
= h+ = k+(hcosp-+-k sin p)w(h,k). 
Zufolge Voraussetzung entspricht jedem e_>0 ein 6>>0 in 
der Art, dass für 
n<é fw, g)<e 
ist, welchen Werth im Intervalle (—'/,z, Yam) p auch an- 
nehmen mag. Somit ist, wenn nur |h| und |k| kleiner als 
6: \/2 sind, 
|o(h, k)|<e. 
Setzt man nun 
—-arctan - @cosp—p(h,k) wsinp—o(h;k), 
so ist unter denselben Bedingungen 
Ip(h,k)l<e — fo(h,k)|<e. 
Man findet also in der That die Formeln 
