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1, Satz : ^Ist das Integral 

 b 



^ f(x,y)dx = ^(y) 

 » 

 (bei beliebigen Grenzen) in dem endlichen Intervalle 

 y = a' bis y == b' und an diesen Grenzen eine stetige 

 Function von y, so ist 

 b' b b b' 



^ dy J f (x, y) dx = ^ dx 5 f(x, y) dy, (2) 



a' a a a' 



da nun auch rechte Seite dieser Gleichung eine endliche be- 

 stimmte Grösse darstellt." 



Beim Beweise dieses Satzes sind drei Fälle zu unter- 

 scheiden. 



a) Die Function f (x , y) sei in den endlichen Punkten 

 des Integrations-Gebietes durchaus endlich und stetig in Be- 

 ziehung auf x und y. Dann hat man nur den Fall, dass 

 das Intervall b — a unendlich ist, näher zu untersuchen. Es 

 sei z. B. b unendlich. Bezeichnet c eine beliebig grosse, 

 aber endliche Zahl , so ist immer nocli 



b' c c V 



(3) ^' dy ^' f(x,y)dx = \^ dx \^ f(x,y)dy. 



Diese Gleichung gilt auch noch für Lim c = OD, falls 

 nur ihre linke Seite sich einer bestimmten Grenze nähert. 

 Es besagt dieses eben, dass der Grenzwert auf der rechten 

 Seite von (2) existirt. Links kann man einsetzen 

 c 



(4) ^ f(x, y)dx = l*(y) + p (c, y), 



a 

 WO nach Voraussetzung die Grösse p (c , y) ihrem absoluten 

 Betrage nach beim unbeschränkten Wachsen von c unendlich 

 klein wird. 



