^ 26 — 



Analytisch ausgedrückt: es ist immer 



I P (^ ' y) I <^ ^ '"^^"'^ ^'^^ I ° I ^ ^ 



genommen wird. Dabei bezeichnet s eine beliebig kleine vor- 

 gegebene positive Zahl. Die Grösse to hängt ausser von 

 e auch von y ab und wird daher besser durch w (y) dar- 

 gestellt. 



Wenn man nun annehmen dürfte, dass die positive 

 Grösse to (y), während y das Intervall a' bis b' durchläuft, 

 eine endliche obere Grenze Wq habe, so könnte man 

 aus der Gleichung 

 b' c b' b' 



^ dy J f(x, y) dx = ^ ^(y)dy + ^ p (c, y) dy 



a a a' a' 



sofort schliessen, dass 



b' c b' b 



c=,'"^ \ "^y \ f(x,y)dx= J dy ^ f(x,y)dx. 



a' a a' a 



Denn ich brauchte nur c so anzunehmen , dass | c | 

 ^ (Oq, so wäre das zweite Glied seinem absoluten Betrage 

 nach sicher < e. | b' — a' | d. i. beliebig klein. 



Diese Annahme, an sich keineswegs selbstverständ- 

 lich, wie zuerst in ähnlichen Fällen von Weierstrass be- 

 merkt wurde — ist hier in der That zulässig. Man 

 braucht nur zu zeigen, dass w (y) sich mit y stetig ändert; 

 denn dieses vorausgesetzt, erreicht w (y) — ebenfalls nach 

 einem Satze von Weierstrass — seine obere Grenze 

 selbst; dieselbe kann also nicht unendlich sein. 



Der Nachweis der Stetigkeit von w (y) in Bezug auf y 

 scheint direct nicht leicht zu führen; dagegen erkennt man 

 sofort, dass die Annahme einer Stetigkeits-Unterbrechung in 

 dem vorliegenden Falle überhaubt unzulässig sei. Denn 

 würde eine solche bei dem Werte y = c' stattfinden — so 

 könnten Werte von c gefunden werden, so dass | p (c, c') ( <C £ 

 dagegen | p (c, c' -j- y) j > e wie klein auch y angenommen 

 würde d. i. die Function | p (c, y) j wäre selbst unstetig. 



