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Dieses widerspricht aber der Gleichung (4), welche zeigt, 

 dass p (c, y) also auch | p (c, y) | für jeden bestimmten 

 Wert von c ein stetige Function von y sei. 



b) Die Function f x, y) werde längs eines Stückes der 

 von den Punkten (b, a') und (b, b') begrenzten Strecke un- 

 stetig oder unendlich ; wobei jetzt b als endlich angenommen 

 ist, während a ganz beliebig gelassen wird. Nun gelten 

 unter den hier bestehenden Voraussetzungen wieder die 

 Gleichungen (3) und (4), wenn nur c eine zwischen a und 

 b gelegene Zahl bedeutet, so nahe an b gewählt, als man 

 will. Und es kann der obige Schluss wörtlich wiederholt 

 werden; — denn die untere Grenze für die positive 

 Grosse 5 (y). welche so definirt ist, dass für alle der Be- 

 dingung I c — b I *C 8 (y) genügenden Werte von c 

 I p (c, y) I < e sei , — kann als von Null verschieden be- 

 trachtet werden. 



c) Endlich kann bezüglich f (x , y) angenommen werden, 

 dass sie in einer endlichen Anzahl von Punkten und zur 

 y - Axe parallelen Strecken innerhalb des Integrations- 

 gebietes unstetig sei. Dann hat man nur das Intervall a 

 bis b entsprechend zu zerlegen. Für die Partial-Doppel- 

 integrale gilt immer die Gleichung (2). 



Anmerkung. Dass die Stetigkeit von W (y) an den 

 Grenzen y = a' und y =^ b' nicht allein hinreichende, son- 

 dern auch , allgemein zu reden , nothwendige Bedingung des 

 vorstehenden Satzes sei, zeigt schon das bekannte Beispiel 

 von Moigno: 

 11 11 



J ^y ] (^^2 <ix und j dx 1^ [^^^3 dy sind ver- 

 



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schieden. Es hört eben die Stetigkeit von \ ^ ~.^ o , dx 





 für y = auf, indem das Integral unendlich wird. 



