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Man bemerkt leicht, dass dieser Satz für unendliche 

 Intervalle b— a nicht mehr allgemein gilt, z. B. 



IL lieber die gleiclimässige Conrergenz TOn ßeilien^ 



deren Glieder TOn einer reellen Yeränderlichen 



abhängen. 



1. Im Folgenden wird der Versuch gemacht, einen Satz 

 zu zeigen, der von Heine als ungewiss bezeichnet wurde. 

 (Borchardt. J. LXXI p. 353) 



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Satz. „Wenn die convergente Reihe Sr(pr(x) die 







Eigenschaft besitzt, dass in einem endlichen Intervalle 

 X = a bis X = b, diese Grenzen eingeschlossen 

 nicht bloss alle Functionen (p r (x), sondern auch die Summa 

 f (x) der Reihe sich stetig mit x ändert, so convei'girt die 

 Reihe im genannten Intervalle in gleichem Grade." 



Dabei können die ^r (x) reelle oder complexe Func- 

 tionen der reellen Veränderlichen x sein. 



Die Convergenz von S^r ist schlechtweg zu nehmen, 

 d. h. im Allgemeinen nur bestehend bei der gegebenen Auf- 

 einanderfolge der Glieder. 



Die gleichmässige Convergenz einer Reihe S^r im In- 

 tervalle X == a bis X = b besteht darin, dass die ganze 

 Zahl m (x), welche dadurch definirt ist, dass für alle 



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ß ^ m(x) I 2^"?^ W I ^ ^ -(a) 



n+ 1 

 bleibt, eine endliche obere Grenze hat, während 



