— 32 - 



X das genannte Intervall durchläuft, e bezeichnet, 

 wie immer, eine beliebige vorgegebene Zahl. 



Dass dieses unter den hier gemachten Voraussetzungen 

 wirklich zutreffe, wird auf folgende Weise gezeigt. 



Da f(x) im Intervalle a bis b in Bezug auf x stetig 

 ist, so giebt es zu jedem x innerhalb desselben eine von 

 Null verschiedene Zahl § von der Art, dass für alle i, 

 welche der Bedingung genügen 



\i\<8, |f(x + e)-f(x)| <.£ (b) 



ist. Um S vollständig zu bestimmen , nimmt man an, dass 

 es ^ gebe vom absoluten Betrage ~~> S, welche 



I f (X + 4) - f (x)l>> s 

 machen. Bei der Stetigkeit von f (x -f- 4) — f(x) in Be- 

 ziehung auf i müssen die Zeichen ">; in diesen Ungleichun- 

 gen als simultan betrachtet werden. 



Nun betrachte man die Partialsummen 

 n 



0° (x) = ^'''P^ W' 







welche ebenfalls stetige Funktionen von x sind, wie gross 

 auch n sein mag. Man kann daher hier eine Zahl Sn de- 

 finiren auf ganz dieselbe Weise, wie eben S. — Dann lässt 

 sich zeigen, dass für Lira n = CO Lim Sn =^ S sei. 



Der Beweis wird indirect geführt, indem man nach- 

 weist, dass n immer so gross angenommen werden könne, 

 dass Sn sich unmöglich um eine endliche Grösse von S 

 unterscheiden könne. 



Es sei erstens Sn <~ S. Dann folgt notwendig, dass 

 es eine Grösse B' zwischen dn und S gebe, so dass 

 n 



I ^r \ ?!' (x ± S') — 9r (x) } |^ e. 



o 



Das Doppelzeichen vor o' ist hier im Allgemeinen alter- "■ 

 native zu verstehen. Zwischen den beiden Seiten dieser Um- 

 gleichuug kann man sich eine Zahl e' ~> e eingeschaltet 



