— 33 — 



denken. Bemerkt man dann, dass vermöge der Convergenz 



der Reihe Sr ^ ^r (xjh §') — cpr (x)? der Rest 



00 

 I 2r { (pr (x ± §0 — 91' (x) } I <- s' — e 



n + l ' 



wird, wenn nur n über einer bestimmten, von x, +; S' und 

 s' — £ abhängigen Zahl m' liegt, — so würde sich ergeben 



I f (x ± S') - f(x) I ~> s' — (e' — e) 

 d, i. ■> s, was offenbar einen Widerspruch enthält. 



Würde zweitens 8n~>S angenommen, so müsste es 

 eine Zahl S" zwischen Sn und S geben, so dass 



|f(x+S'0-f(x)|~>£, 



daher auch ""> s", wenn dieses ~> s. Nimmt man n~> m" 



(welches obigem m' entspricht), so könnte man schliessen 



I an (x ± 8") — an (x) | -> s" — (s" — s) 



d. i. ""> £, was ebenfalls ein Widerspruch. 



Wenn nun Lim 5n = S, so ist für alle n~~> N 

 n=oo 



|Sn — Sj<~-k, wo k eine beliebige vorgegebene Grösse, 



Somit hat man für 



n^N 1^1^ S — k Jon (x + D — on (x)|<.e, 



also nach (b) jedenfalls 



00 00 



I Sr «pr (x + 4) — 2r cpr (x) | <. 2 e. (c) 



n+l n-|-l 



Die Zahl N hängt (ausser von k) nur von x ab, ähn- 

 lich wie m (x) oben. Bezeichnet M die grössere der Zahlen 

 N und m(x), so folgt aus (a) und (c), dass im Interfalle 

 4 = _S+kbise = S — k 

 00 

 |2]r <pr(x + ^) I <. 3 s, 



n+l 

 wenn nur n ~>- M vorausgesetzt wird. 



Während x das Intervall a bis b durchläuft, hat die 

 Naturw.-med. Verein. 1874 3 



