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Grösse ö bekanntlich eine von Null verschiedene untere 

 Grenze A. Theilt man das Intervall b — a in Theile, deren 

 jeder kleiner als 2A ist, so erhält man für den Mittel- 

 punkt eines jeden dieser Theile ein bestimmtes M. Da die 

 Anzahl dieser Zahlen M eine endliche ist so hat man nur 

 die grösste derselben M^ zu nehmen um sicher zu sein, dass 

 im ganzen Intervalle a bis b für alle n ~>- M*' 

 00 

 |2r'fr (x) I <^ 3 s. 



n + r 

 was zu beweisen war. 



2. Die Wichtigkeit des vorstehenden Lehrsatzes leuchtet 

 von selbst ein: er erleichtert den Gebrauch von unendlichen 

 Reihen in der Integralrechnung wesentlich. Wenn Sr ^r (x) 

 = f (x) im Intervalle x = a bis x=b, dieseGren- 

 zen eingeschlossen, eine stetige Function von x 

 ist, so hat man stets — wie aus der gleichmässigen 

 Convergenz der Reihe unmittelbar folgt — 

 b 00 b 



s 



f(x) dx = 2»* \ <pi" W- dx. (d) 



Hört an einer der Grenzen z. B. bei x = b die Stetigkeit 

 von f(x) auf, so muss in dieser Gleichung b durch einen 

 innerhalb des Intervalles liegenden Wert c ersetzt und hier- 

 auf Um c = b genommen werden. Dabei geht die linke 

 b 



Seite sicher in \ fx dx über, wenn dieses Integral existirt. 



a 



b 



OD C' 



Rechts aber darf ^r \ «pr (x) dx — die Convergenz die- 



a 



ser Reihe vorausgesetzt — nur gesetzt werden, wenn das 

 c 



CO P 



Integral In \ 9r(x)dx für c=b stetig ist. Ist 



