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aber diese Stetigkeit erwiesen, so folgt daraus sowohl die 



b 



Existenz des Integrales \ f (x) dx als auch die Gleichung (d). 



a 



Man erhält ferner noch folgenden Satz, der bisher, 

 wie es scheint, noch nicht bewiesen worden ist: 



Satz. „Ist f(x)=^S(pr (x) im Intervalle a bis b 

 mit Einschluss dieser Grenzen stetig; ist ferner die Reihe 

 S (p'r (x) in demselben Intervalle convergent und hat sie eine 

 stetige Summe — letzteres mit Ausschluss einer endlichen 

 Anzahl von speziellen Werten von x; so hat man, diese 

 Stellen ausgenommen, überall 



00 







Der Beweis ergiebt sich unmittelbar, indem man 

 S (p'r (x) über Strecken integrirt, welche ganz innerhalb je 

 eines der Theile liegen, in welche das Intervall a bis b 

 durch die Unstetigkeitsstellen von S «p'r (x) zerfällt. Es ge- 

 hört aber hierher noch die Bemerkung, dass alle Unstetig- 

 keitsstellen von S (pr (x) solche Stellen sein müssen, in 

 welchen die g 1 e i c h m ä s s i g e C o n v e r g e n z von S ip' r (x) 

 jedenfalls, vielleicht auch die Convergenz selbst, aufhört. 

 Denn soweit S ^'r (x) stetig ist, ist nach dem Vorstehenden 

 S (fr (x) jedenfalls auch stetig. Es kann ja 



s 

 ^,yr (x) == \ dx ^^<p'r (x). -{- Const. 



a 



gesetzt werden. 



3. Es ergiebt sich nun eine wesentliche Eigen- 

 schaft der trigonometrischen Reihen: 



% Ao + A, + A^ +...., (a) 



wo An = an cos nx 4" hn sin nx. 



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