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Satz, „Hat die trigonometrische Reihe (a) zwischen 

 X = — TT und X =^ -|~ '^ "^it Ausnahme einer endlichen 

 Anzahl von Punkten c eine Summe f (x), die mit x sich 

 stetig ändert, so ist die Reihe 



00 

 / \ 1/ „ ^ I "NJ an sin nx — bn cos nx .,-. 



1 ° 



eine stetige Function von x durch das ganze Intervall 



von — 7c und -|~ ''^ "lit Einschluss dieser Grenzen, 



falls nur das Integral 



{ f (x) dx 



— rt 

 existirt. *) 



Somit wird das Integral von f(x) über jedes 

 beliebige Intervall gefunden durch Integration 

 der Glieder von (a)," 



Es seien c, c' zwei aufeinanderfolgende Ausnahme- 

 Punkte im Intervalle — ;: bis -j" ^- "P (x) ist innerhalb des 

 Intervalles c bis c' sicher stetig; ferner ist 



s = ^«- 



Da mithin, wenn a, x im Intervalle c bis c' liegen, 

 <P (x) — <P (a) = \ f (x). dx 



a 

 ist, SO folgt, dass sich ^ (c -|- a) und rp (c' — a) bei unbe- 



*) Im Sinne von Riemann (Darstellbarkeit etc, p. 18). Be- 

 zeichnen Cj c, .... er die ausgeschlossenen Punkte, so muss die 

 -, Summe 



Cj-Bj r- 1 cs+1— Ss+1 -f-ji 



\ fx dx -}- ^ ^ \ f X dx + \ fx dx 



-^ cs-}-£S cr + sr 



sich einer endlichen und bestimmten Grenze nähern , wenn alle Grössen 

 und s unabhängig von einander gegen Null convergiren. 



