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grenzter Abnahme des positiven a endlichen Grenzen nähern, 

 welche mit tp (c ~\- 0) und (p (c' — 0) bezeichnet werden 

 mögen. 



Nach dem zweiten Lehrsatze von R i e m a n n (lieber 

 die Darstellbarbeit einer Function durch eine trigonometrische 

 Reihe p. 29) folgt, wie schon G. As coli (Mathematische 

 Annalen VI. p, 237) bemerkt hat, unmittelbar, dass 



<p (c - 0) = 9 (c + 0) 

 sein müsse. Denn wäre ^ (c -}- 0) — 9 (c — 0) nicht 

 Null, so könnte unmöglich 



F(x + 2a)— 2Fx + F(c — g) 



a 



mit a verschwinden. Hier bezeichnet, wie bei Riemann a. 



a. 0., F (x) die durch zweimalige unbestimmte Integration 



der einzelnen Glieder aus f(x) hervorgehende Reihe 



t?Cy^ =r _i ^0 ^^ ~ :^ ^ ^ 



^ W 4 p 22 32 — 



Wenn nun auch ^ (c — 0) und ^ (c .4- 0) zusammen- 

 fallen in einen Wert y» so kann doch keineswegs sofort ge- 

 schlossen werden, dass die Reihensumme (b) d. i, ^ (c) = y 

 sei. Hierzu gehört vielmehr noch ein Satz von As coli 

 (a. a. 0. p. 239): „In den ausgeschlossenen Punkten c hat 

 eine trigonometrische Reihe wie (a), wenn sie überhaupt 

 con ver girt, die Summe 



Lim -1 I f(c-a) + f(c+ a) | (a -= 0)«. 



Dabei ist es nicht notwendig, dass f(c — a) und f(c-f-a) 

 für sich einer bestimmten Grenze zustreben. — Den Beweis 

 dieses Satzes können wir hier in folgender Art geben, wo- 

 bei wir den Einwand vermeiden , dass der von Hrn. Ascoli 

 a. a. 0. zweimal gebrauchte Mittelwert verschiedene Be- 

 deutung haben kann. Nach dem Satze von Nr. 2 hat man 

 mit Ausnahme der Punkte c überall 



somit 



