— 39 — 



von X wirklich convergire. Es lässt sich dieses auf 



folgende Art zeigen. 



Betrachten wir die Function ^ (x), welche in allen 



Punkten ausser den c mit 



00 

 , V , , "NiT an sin n x — bn cos nx , . 

 9(x) — 1/2 ao X = ^n (c) 



1 n 



übereinstimmt, in diesen letzteren aber den bezüglichen Wert 

 Y — y2 Sq c annimmt. Diese Function ist mithin stetig im 

 ganzen Intervalle — 7: — bis -f- tt mit Einschluss dieser 

 Grenzen. Da dieselbe in allen Punkten ausser den c die 

 Abtheilung f (x) — Yg a„ besitzt, somit die Differenz 

 f (x -|- a) — f (x) mindestens von der Ordnung a ist, so 

 lässt ?"* (x) nach einem Satze von Lipschitz (Borchardt. 

 J. LXIII. p. 308) die Fourier'sche Entwickelung zu. Wegen 

 der Stetigkeit von ^ (x) im ganzen Intervalle — tt bis 

 -j- TT ist die Summe der entsprechenden Fourier'schen Reihe 

 überall gleich ^ (x). Nach einem Satze von G. Cantor 

 (a. a, 0. LXXII. p. 1 39) muss diese Fourier'sche Reihe mit 

 (c) identisch sein. Somit convergirt (b) auch in den ausge- 

 schlossenen Punkten. 



Das Vorstehende zusammengefasst liefert das Ergebniss, 

 dass die Reihe (b) in allen Punkten des Intervalles — 7: 

 bis -j- t: stetig sei, womit der am Eingange der Nr. aufge- 

 stellte Satz erwiesen ist. 



4. Wenn eine trigonometrische Reihe, deren Summe mit 

 Ausnahme einzelner Punkte stetig ist, durch unbestimmte 

 Integration der Glieder eine Reihe liefert, die in einigen 

 dieser Punkte eine ünstetigkeit aufweiset , so wird man 

 schliessen, dass das Integral der genannten Summe, ausge- 

 dehnt über das Intervall — tu bis -|- tt, nicht angebbar sei. 

 Dies tritt z. B. ein bei der Sinusreihe 



f(x) = ^^"^^ + ^i"^^ 4. (A^ 



^ ^ log.2 ~ log. 3 T^ • • • • ' W 



indem die Reihe 



fr)(x) == COS 2 X ^__ cos 3 x 



2 log. 2 3 log. 3 • • ' • 



