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integrire unbestimmt die einzelnen Glieder, Dadurch erhält 

 man die Reihe 



, ,\ "^^ n (an sin nx — bn cos nx) 



COS m (x-^t) ^n -^^ ^nr^i 



— m sin m (x — t) ^n ^n^a , (f) 



wo n alle ganzen Zahlen von bis CO durchläuft mit Aus- 

 nahme der Zahl m. Diese Reihe ändert sich aber stetig 

 mit X im Intervalle von — % bis -j- tt, diese Grenzen ein- 

 geschlossen. Da der zweite Theil augenscheinlich für alle 

 Werte von x gleichmässig convergirt , *) so hat man nur den 

 ersten zu betrachten, welcher durch die Substitution 

 n 1 m* 



n^ — m^ n "■" n (n^ — m^) 



in eine für alle Werte von x gleichmässig convergente Reihe 

 und die Reihe (c) zerfällt, von der bereits bekannt ist, dass 

 sie im genannten Intervalle durchaus stetig. Man darf also 

 behaupten, dass das Integral 



\ i (x). cos m (x — t) dx 



— it 

 existirt und gleich % Km ist. 



Will man von der eben benützten Eigenschaft der Reihe 

 (p (x) keinen Gebrauch machen , so kann man auch so ver- 

 fahren. Man bemerkt, dass die Reihe (c) eine Fourier'sche 

 sein müsse ; denn bildet man dafür den Ausdruck (f), so 

 findet man 



— cos m (x — t)2n TIZT^a 



— sin m (x — t) ^n 



»n sin nx — bn cos nx 



n (n* — m*) 



somit eine für alle Werte von x gleichmässig convergente 

 Reihe. Demnach ergiebt sich die Formel 



••') Dieses setzt voraus, da«s die Coefficienten an, bn in's Unend- 

 liche abnehmen. Dies ergibt sich aus einem Satze von G. Cantor 

 (Borchardt. J. LXXIlI. p. 294.) 



