n. 



— 42 — 



am sin mx — bm cos m x 



m 



^^ \ (9 (0 — V2 *o ^^^ ™ ('^ — ^) ^^ 



woraus durch partielle Integration wegen rp (c — 0) = 

 rp (c+o) und ^^ = f(t) (t ^ c) folgt 

 an sin mx — bn cos mx — ( — l)m sin mx 



m m " 



(-l)n3sinm x |^(^_o)_^(_^_,_o)} 

 — — \ f(0- sinm(t — x)dt. 



— K 



Weiss man nun (s, u.), dass 



\ f(t). dt = (p(7u-o) — 9(~7r + o) (g) 



TT a. 



so erhält man unmittelbar die beiden Theile der Gleichung (e). 

 G. Ascoli hat den vorstehenden Satz auch ohne Be- 

 nützung des Satzes von Nr. 2 bewiesen. Dann muss man 

 auf die Reihe 



A A 



F (x) — y a x"^ — — A — -^ lli _ 



zurückgehen, deren gleichmässige Convergenz für alle Werte 

 von X unmittelbar einleuchtet. Diese Reihe ist somit sicher 

 eine Fourier'sche ; man hat also 



-'^= |{F(t)-%aot2}cosm(t-x)dt 



IC 



(ra = 1, 2 . . . 00). 

 Da F (t) für alle Werte von t stetig nnd mit Ausnahme 

 der Punkte c die Ableitung (p (t) besitzt, von welcher be- 



