enthebt uns jedoch nicht der Pflicht, über den wahren Sinn 
der quantitates infinitesimae nachzudenken d. h. die Frage 
uns vorzulegen, ob sie überhaupt in der Mathematik zulässig 
seien, wenn ihnen auch eine fundamentale Bedeutung nicht 
mehr beigelegt werden kann. Ja, wir können uus der ange- 
regten Untersuchung gar nicht entschlagen gegenüber der That- 
sache, dass seit zwei Jahrhunderten mit den unendlich kleinen 
Grössen gerechnet wird und zwar so, wie mit den reellen 
Zahlen. 
Bevor wir zu dieser Untersuchung übergehen, wollen wir 
kurz andeuten, wie man unter der Voraussetzung, dass die 
Lehre von den reellenZahlen völlig abgeschlossen 
sei, die Differentialrechnung ohne Hilfe des unendlich Kleinern 
entwickelt. Wir folgen hierbei dem von Cauchy ange- 
gebenen Verfahren. Es sei für alle Werthe von x im Inter- 
valle (a—d, a+.d) eine Function f (x) eindeutig definirt 
und stetig. In vielen Fällen wird es dann möglich sein, den 
Unterschied f(a+h) — f(a), so lange nur h dem absoluten 
Betrage nach unter d liegt, auf die folgende Form zu bringen 
f(a +h) —f(a)=[a, +p (a), 
worin a, eine von der Veränderlichen h unabhängige Zahl, 
p(h) eine Function von h bedeutet, welche bei unbeschränktem 
Abnehmen von h dem Grenzwerthe Null sich nähert. Die 
der Function p(h) hier beigelegte Eigenschaft ist ein kurzer 
Ausdruck für die folgende arithmetische Thatsache, die 
wir jetzt ein für alle Male feststellen. „Zu jeder gegebenen, 
sonst willkürlichen positiven Zahl ¢ gehört eine positive Zahl 6, 
so dass für alle Werthe von h, die absolut genommen kleiner 
als ö sind, der absolute Betrag von p(h) kleiner ist als e*. 
— Nunmehr heisst a, der Differentialquotient und a, h 
des Differential df(x) von f(x) für den Werth x=a!). 
Existirt für alle Werthe von x im Intervalle (a—d, a-+-d) 
ein Differentialquotient von f(x), welcher die eindeutige Function 
!) Vgl. Moigno Legons de calcul différentiel etc. d’aprös les 
methodes de M. A. F, Cauchy I. p. 7. 
