hängigen Veränderlichen x die Aenderung w, wodurch die 
Function y den Werth 
yi=y+Po+Qw?+ ...... 
bekomme; hierauf denkt er sich m unendlich klein und 
nennt & das Differential von x, Pw das von y. — Wenn 
wir jedoch dabei bleiben, unter o eine veränderliche Zahl, 
die beliebig kleiner Werthe fähig ist (ohne jedoch zu ver- 
schwinden), zu verstehen; so gelangen wir im Wesentlichen 
zu der fräher erwähnten Darstellung der Differentialrechnung, 
die nur insofern zu verbessern war, als y! nicht immer die 
soeben erwähnte Entwickelung zulässt. 
Wollen wir aber ein neues Grössensystem aufstellen, so 
müssen wir, da die vorstehenden Definitionen uns theils im 
Unklaren lassen, theils in Widersprüche verwickeln, zu einem 
anderen Verfahren greifen. Schon die Griechen lehren uns 
eine Methode, nach welcher neue Grössen in die Mathematik 
eingeführt werden können, Euclid hat sie uns im 5. Buche 
seiner Elemente aufbewahrt, welchem eine Schrift des Plato- 
nikers Eudoxus zu Grunde liegen soll. Machen wir uns 
in Kürze klar, in welcher Weise dort der Begriff des Ver- 
hältnisses entwickelt und ausgebildet wird. Je zweien 
gleichartigen Grössen (z. B. Strecken), die in eine bestimmte 
Aufeinanderfolge A, B gebracht sind, wird ein neues Object 
zugeordnet, welches das Verhältniss von A zu B heisst und 
mit (A:B) bezeichnet wird. Dieses Ding ist noch ohne 
Eigenschaften, kann also erhalten und erhält solche zuerst 
durch die Definitionen V 5, 7, die festsetzen, welche Ver- 
hältnisse einander gleich und welches von zwei nichtgleichen 
das grössere heissen soll. Die Definitionen sind an sich 
willkürlich, nur müssen sie so gewählt sein, dass wenn 
vermöge der ersten (A:B) = (C: D), (C: D) = (E:F) heissen, 
zufolge eben derselben auch (A:B)—=(E:F) sein muss; 
und wenn nach ihnen zu sagen ist (A:B) >(C:D), (C:D) 
> (BE:F), immer zufolge der zweiten (A:B) > (E:F) 
sein muss. Sind nun diese Bedingungen erfüllt, so ist 
eine neue Art von Grössen gewonnen d. h. als zulässig 
