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geben. Dabei ist aber mit der gehörigen Vorsicht vorzugehen 
und namentlich zu vermeiden, dass irgend ein ihm beigelegtes 
Prädieat erst durch ein nachträglich hinzutretendes erklärt 
werde. Wenn wir z. B. sagen würden, zwei unendlich Kleine 
u (f), u (f,) sind einander gleich, wenn ihr geometrisches Ver- 
hältniss im Sinne der Alten gleich dem Verhältnisse der 
Gleichheit ist, so würde das nicht logisch sein; denn die 
Verhältnisslehre der Alten lässt sich nur anwenden auf 
Grössen (und zwar lineare) d. i. auf solche Objecte, die man 
schon untereinander vergleichen kann!). Ebensowenig würde 
es angehen zu sagen u(f)=u(f,), wenn der Quotient 
u(f):u(f,)== 1 ist? Was heisst denn hier , dividiren*? Selbst 
in der formalen Arithmethik geht der Division eine Multi- 
plication voraus und den vier Species zusammengenommen die 
soeben erwähnte Voraussetzung der Vergleichbarkeit der neuen 
Dinge untereinander. 
Gestützt auf das Beispiel der Alten müssen wir fordern, 
dass vor Allem bestimmte Regeln für die Vergleichung der 
unendlich kleinen Grössen angegeben werden. Von diesem 
Standpunkte aus scheint nun die folgende Theorie am nächsten 
zu liegen. 
Es sei für die veränderliche x ein bestimmter Bereich 
(a, a+d) in der Art festgesetzt, dass x vorgeschriebene 
Werthe annimmt, die dem constanten Werthe a sich beständig 
in demselben Sinne nähern und ihm beliebig nahe kommen 
können z. B, lim. x ~a-+0O d.h. zu jeder positiven Zahl ¢ 
lässt sich ein Werth von x angeben: x!, so dass a<"x!<T 
a-+ 6. Ferner sei gegeben ein System von Functionen f(x), 
deren jede bei dem in Rede stehenden Grenzübergang der 
unabhängigen Veränderlichen x den Grenzwerth 0 hat (vgl. 
p. 22), dabei aber beständig positiv ist. Wir nehmen 
ferner an, dass jede rationale Function von beliebig, 
!) Diese Bemerkung wurde schon von Berkeley gemacht. 
Vgl. Baumann |. c. p. 444. — Ueber lineare Grössen. Vgl. diese 
Berichte XII. p. 86. Math. Ann, XXI, p. 506, 
