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Solche würden aber durch jede Differenz « — ß, worin a < 8, 
erzeugt vermöge der Formel 
(2—8) + (@—a)=(2+8)—(@ +8). 
Die vorstehende Untersuchung hat zu folgendem Ergebniss 
geführt: Unter Voraussetzung eines Systems von 
Functionen f(x) kann man zwei Reihen von 
Grössen definiren, mit denen man, abgesehen 
von einigen Ungleichungen, gerade so rechnen 
kann, wie mit den absoluten Zahlen, welche 
selbst zu dem aus den beiden Reihen gebildeten 
Grössensysteme gehören. Dasselbe ist jedoch 
nicht so bequem zu gebrauchen, wie etwa die 
Euclid’schen Verhältnisse. Während man den Grössen 
eines jeden linearen Systemes Verhältnisse heilegen kann, 
so lässt sich, wenigstens nach dem gegenwärtigen Stande der 
Theorie der reellen Functionen, unser Functionensystem nicht 
explicite definiren. Die in dem Intervalle (a, a+ d) 
monotonen Functionen bilden jedenfalls kein System von den 
geforderten Eigenschaften). 
Der soeben vorgeführte Versuch, unendlich kleine Grössen 
aufzustellen, ist natürlich keineswegs der einzig mögliche. Im 
Anschlusse an die von Hrn. P. du Bois-Reymond in 
seinem Infinitärcaleul gebrauchten Definitionen ergibt sich 
vielmehr sofort eine zweite Theorie, Es sei gegeben ein 
System von Functionen f(x), deren jede nur positive Werthe 
und bei dem früher festgesetzten Grenzü'ergange z. B. 
lim x—=a--0 den Grenzwerth 0 hat, Ferner sei angenommen, 
dass jede Function 
Darren, 
worin die 4, .... pn beliebige rationale Zahlen sein können, 
bei lim x a-+ 0 einen Grenzwerth besitze. Wir sagen dann, 
u(f) soll gleich, grösser oder kleiner als u(f,) sein, je nach- 
1) Selbst der Quotient zweier monotonen Functionen von x, welche 
bei einem bestimmten Grenzübergange von x -beide den Grenzwerth O 
haben, kann dabei ohne Grenzwerth sein; vgl. Math. Annalen XIV. p. 232. 
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