XXII 
tenbrüche mit, welche so allgemein bisher nicht ausge- 
sprochen sein dürften, 
Wenn der rein periodische Kettenbruch mit beliebigen, 
reellen oder complexen Theilzählern und Theilnennern 
(1) 
am a 
1 
bm + aes 
dessen Periode m Glieder enthält, convergirt, so genügt sein 
Grenzwerth x bekanntlich der quadratischen Gleichung 
Nm-1 x2—(Nm ~ Zn—1)x—Zm = 0. (2) 
Dabei bezeichnet Zr : Nr den rten Näherungsbruch desselben. 
Betrachten wir, ohne über die Natur des unendlichen 
Kettenbruches (1) etwas zu wissen, zunächst die Gleichung (2). 
„Es sei Nm—1i nicht Null und sie habe verschiedene 
Wurzeln a, b. ı 
Wir bilden die Ausdrücke 
c—Nm + aNm—1 d—Nm te bNm—1. 
Wenn nun der absolute Betrag des Quotienten e:d 
nicht gleich 1 ist, so dass wir die Wurzel a dadurch ein- 
deutig definiren können, dass |c| > |d| ist, und wenn, falls 
m > 2 ist, keine der Zahlen 
eae a 
Zr —bNr (r=0, 1... m—2) (3) 
Null ist, so convergirt der in Rede stehende Kettenbruch, und 
zwar ist a sein Grenzwerth. — Er convergirt auch noch, 
wenn die Gleichung (2) eine doppelte Wurzel a—b hat; 
dann ist diese natürlich sein Grenzwerth ‘. 
„Unter allen übrigen Umständen divergirt der perio- 
dische Kettenbruch (1)*. 
Von besonderem Interesse ist ein bereits von Thiele 
hervorgehobener Fall der Divergenz periodischer Kettenbrücke. 
Hat die Gleichung (2) verschiedene Wurzeln a, b und ist 
je! >|d|, sind aber nicht sämmtliche Ausdrücke (3) von 
Null verschieden, verschwindet also Zr — bN, etwa für 
r==s, t..., so sind alle Näherungsbrüche 
ER, 
